Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Aussage über eine rekursive Funktion ohne erreichbaren Basisfall ist richtig?

  1. ADer Compiler wandelt sie immer in eine Schleife um, die sicher endet
  2. BSie gibt automatisch 0 zurück
  3. CSie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
  4. DSie läuft in O(1) Zeit
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie wird das Problem des Handlungsreisenden (TSP) eingeordnet?

  1. ADie Entscheidungsversion liegt in P, aber die Optimierungsversion ist NP-vollständig
  2. BEs liegt in P, weil der Dijkstra-Algorithmus es löst, indem er jede Stadt einmal besucht
  3. CEs ist unentscheidbar
  4. DDie Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.DatenstrukturenMittel

Ein Binärbaum hat die Wurzel 1 mit linkem Kind 2 und rechtem Kind 3; Knoten 2 hat die Kinder 4 (links) und 5 (rechts). Wie lautet die Post-Order-Traversierung?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C5 4 3 2 1
  4. D1 2 4 5 3
4.DatenstrukturenSchwer

Wie verbessert ein Radix-Baum (komprimierter Trie) einen einfachen Trie?

  1. AEr behält nur den ersten Buchstaben jedes Worts
  2. BEr speichert jedes Wort in einer Hashtabelle an der Wurzel statt in einzelnen Knoten
  3. CEr fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
  4. DEr sortiert die Kinder jedes Knotens nach Häufigkeit
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 19 Knoten und 30 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 19|E| = 30
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei E? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft

Warum das die Antwort ist

Ohne Basisfall endet die Rekursion nie; in der Praxis geht der Speicher für die Stackframes aus, und das Programm stürzt ab.

Antwort

C · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer

Warum das die Antwort ist

„Gibt es eine Rundreise der Länge höchstens k?" ist NP-vollständig; die kürzeste Rundreise zu finden ist NP-schwer, da es mindestens ebenso schwer ist.

Antwort

D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 4 5 2 3 1

Warum das die Antwort ist

Post-Order verarbeitet 4 und 5 vor 2, dann 3 und zuletzt die Wurzel 1.

Antwort

B · 4 5 2 3 1
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen

Warum das die Antwort ist

Das Zusammenfassen unverzweigter Pfade verringert die Anzahl der Knoten und den Speicherbedarf, während die Präfixsuche erhalten bleibt.

Antwort

C · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

19 − 1 = 18

Zu entfernende Kanten

k = 30 − 18 = 12

Antwort

k = 12
6.Graphentheorie

Antwort: N = 3

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Antwort

N = 3

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