Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wechseln viele Sortierroutinen in Bibliotheken bei sehr kleinen Teilarrays zu Insertionsort?

  1. AInsertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
  2. BInsertionsort ist im Worst Case O(n log n)
  3. CInsertionsort braucht bei großen Eingaben weniger Speicher als jeder andere Sortieralgorithmus
  4. DRekursive Algorithmen können Arrays mit weniger als 10 Elementen nicht verarbeiten
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Kürzeste einfache Wege lassen sich in polynomieller Zeit finden. Was ist über das Finden des längsten einfachen Weges zwischen zwei Knoten in einem allgemeinen Graphen bekannt?

  1. AEs ist immer in O(V + E) lösbar
  2. BEs ist unentscheidbar
  3. CEs ist NP-schwer
  4. DEs lässt sich mit dem Dijkstra-Algorithmus und negierten Gewichten lösen
3.DatenstrukturenMittel

Warum kann ein binärer Heap ganz ohne Zeiger in einem Array gespeichert werden?

  1. AAlle Schlüssel in einem Heap sind gleich
  2. BHeaps enthalten nie mehr als 100 Elemente
  3. CEr ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
  4. DArrays halten Schlüssel automatisch sortiert, sodass keine Zeiger nötig sind
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin sortiertes Array aller n Werte
  2. BEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  3. CEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  4. DEine FIFO-Queue der letzten k Werte
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K7? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K7
H =
6.GraphentheorieSchwer
54125151162413ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell

Warum das die Antwort ist

Für kleine n schlägt die einfache Schleife von Insertionsort den Rekursions-Overhead von Quicksort oder Mergesort, obwohl sie O(n²) ist.

Antwort

A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Es ist NP-schwer

Warum das die Antwort ist

Ein längster einfacher Weg der Länge V − 1 ist ein Hamiltonpfad, ein NP-vollständiges Problem; auf gerichteten azyklischen Graphen ist es dagegen in linearer Zeit lösbar.

Antwort

C · Es ist NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln

Warum das die Antwort ist

Vollständigkeit bedeutet, dass es keine Lücken gibt, daher liegen die Kinder von Index i immer bei 2i + 1 und 2i + 2.

Antwort

C · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

C · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: H = 360

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwort

H = 360
6.Graphentheorie

Antwort: G

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 5, C: 4
2. C (4): E: 16, G: 6
3. B (5)
4. G (6): D: 10
5. D (10): E: 15, F: 25
6. E (15)
7. F (25)

Runde 4

G

Antwort

G

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