Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Münzen verwendet bei Münzen zu 1, 3 und 4 und einem Betrag von 6 die gierige Methode „größte Münze zuerst" im Vergleich zum Optimum?

  1. AGreedy braucht 2 Münzen; das Optimum ist 2
  2. BGreedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 2
  3. CGreedy braucht 4 Münzen; das Optimum ist 3
  4. DGreedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 3
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Nimmt man beide Endpunkte jeder Kante eines maximalen Matchings, erhält man eine Knotenüberdeckung. Wie gut ist diese Überdeckung?

  1. AHöchstens log n-mal so groß wie das Minimum
  2. BHöchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
  3. CVon unbekannter Güte im Vergleich zum Optimum
  4. DImmer eine minimale Knotenüberdeckung
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird ein neues Element in einen binären Heap eingefügt?

  1. AAn der sortierten Position einfügen, indem alle größeren Elemente um eine Stelle nach rechts verschoben werden
  2. BDen ganzen Heap von Grund auf neu aufbauen
  3. CIn die Wurzel setzen und nach unten wandern lassen
  4. DAns Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
4.DatenstrukturenSchwer

Die Schlüssel 5, 3, 8, 1 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren, arraybasierten binären Min-Heap eingefügt. Wie sieht das Array am Ende aus?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 3 führen von C nach E? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Greedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 2

Warum das die Antwort ist

Greedy nimmt 4 + 1 + 1 = 3 Münzen, aber 3 + 3 braucht nur 2, also ist Greedy für dieses Münzsystem nicht optimal; dynamische Programmierung schon.

Antwort

B · Greedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 2
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung

Warum das die Antwort ist

Die Matchingkanten haben keine gemeinsamen Knoten, also braucht das Optimum mindestens einen Knoten pro Kante, während diese Methode zwei nimmt: eine 2-Approximation.

Antwort

B · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt

Warum das die Antwort ist

Das Hinzufügen am Ende hält den Baum vollständig; das Vertauschen mit dem Elternknoten stellt die Ordnung in O(log n) Schritten wieder her.

Antwort

D · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
4.Datenstrukturen

Antwort: C · [1, 3, 8, 5]

Warum das die Antwort ist

Nach 5, 3, 8 ist das Array [3, 5, 8]; 1 kommt an Index 3, wird mit seinem Elternknoten 5 und dann mit 3 vertauscht, das ergibt [1, 3, 8, 5].

Antwort

C · [1, 3, 8, 5]
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

B, C, E, G → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: N = 7

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)CE = 1·0 + 2·1 + 3·1 + 1·1 + 1·0 + 1·1 = 7

Antwort

N = 7

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