Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wird die Basis eines Logarithmus in der Groß-O-Notation meist weggelassen, wie in O(log n)?

  1. ALogarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
  2. BLogarithmen werden immer auf ganze Zahlen gerundet
  3. CDie Basis spielt nur für kleine n eine Rolle
  4. DAlle Logarithmen in der Informatik haben die Basis 10, die Basis ist also implizit
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. AJedes Problem in P liegt auch in NP
  2. BEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
  3. CLösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
  4. DNP bedeutet „nicht polynomiell“
3.DatenstrukturenMittel

AVL-Bäume und Rot-Schwarz-Bäume garantieren:

  1. AEine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
  2. BSuche in konstanter Zeit in jedem Fall
  3. CDass die Schlüssel in Einfügereihenfolge gespeichert werden
  4. DDass kein Knoten zwei Kindknoten hat
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Garantie geben die Regeln eines Rot-Schwarz-Baums für die Höhe eines Baums mit n Schlüsseln?

  1. ADie Höhe beträgt genau log2 n
  2. BDie Höhe beträgt höchstens n / 2
  3. CDie Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)
  4. DDie Höhe beträgt höchstens log2 n + 1
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1461214718ABCDE

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten B. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt.

Start: Bk = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor

Warum das die Antwort ist

Ein Basiswechsel multipliziert den Logarithmus mit einer Konstante, und Groß-O ignoriert konstante Faktoren.

Antwort

A · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

A · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung

Warum das die Antwort ist

Selbstbalancierende Bäume halten die Höhe logarithmisch, sodass Suchen, Einfügen und Löschen im schlechtesten Fall O(log n) kosten.

Antwort

A · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Die Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)

Warum das die Antwort ist

Jeder Pfad hat gleich viele schwarze Knoten, und rote Knoten dürfen nicht benachbart sein, daher ist der längste Pfad höchstens doppelt so lang wie der kürzeste, was eine Höhe von O(log n) ergibt.

Antwort

C · Die Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: Kante DE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. BD (1)
2. DE (7)
3. CE (4)
4. AC (6)

Kantennummer 2

DE

Antwort

Kante DE

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