Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche amortisierte Zeitkomplexität hat das Anhängen an ein dynamisches Array, das seine Kapazität verdoppelt, wenn es voll ist?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Die Karatsuba-Multiplikation erfüllt T(n) = 3T(n/2) + O(n). Was ist die Lösung?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), etwa n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.DatenstrukturenMittel

Ein Straßennetz hat 100,000 Kreuzungen, die jeweils mit etwa 4 anderen verbunden sind. Welche Darstellung ist am besten geeignet?

  1. AEin binärer Heap der Kanten
  2. BAdjazenzmatrix
  3. CEin einziges sortiertes Array der Knoten
  4. DAdjazenzliste
4.DatenstrukturenSchwer

Mit welcher Struktur lässt sich das Maximum jedes Fensters der Größe k in einem Array insgesamt in O(n) berechnen?

  1. AEin für jedes Fenster neu aufgebauter Min-Heap
  2. BEine einfach verkettete Liste der Fensterelemente
  3. CEine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
  4. DEin sortiertes Array, das durch Verschieben aktualisiert wird
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 10 Knoten und 14 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 10|E| = 14
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(1)

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente werden nur bei Zweierpotenzen kopiert; verteilt auf alle Anhängeoperationen sind die durchschnittlichen Kosten pro Operation konstant.

Antwort

A · O(1)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Θ(nlog₂ 3), etwa n1,585

Warum das die Antwort ist

Da log₂ 3 ≈ 1,585 > 1 ist, dominieren nach dem Master-Theorem die Blätter; das schlägt die O(n²)-Schulmethode.

Antwort

C · Θ(nlog₂ 3), etwa n1,585
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Adjazenzliste

Warum das die Antwort ist

Eine Matrix bräuchte 1010 Zellen, fast alle leer; eine Adjazenzliste speichert nur die rund 400,000 Kanteneinträge.

Antwort

D · Adjazenzliste
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte

Warum das die Antwort ist

Das vordere Ende der Deque ist immer das Maximum des Fensters; jeder Index kommt einmal hinein und einmal heraus, daher ist der Aufwand linear.

Antwort

C · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
5.Graphentheorie

Antwort: k = 5

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

10 − 1 = 9

Zu entfernende Kanten

k = 14 − 9 = 5

Antwort

k = 5
6.Graphentheorie

Antwort: N = 4

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

Antwort

N = 4

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