Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viel Stack-Speicher braucht eine einfache rekursive Fakultätsfunktion fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum ist eine Suche in einer Hashtabelle im Durchschnitt O(1), im Worst Case aber O(n)?

  1. AHashfunktionen sind langsam
  2. BSchlüssel müssen zuerst sortiert werden
  3. CViele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren
  4. DArrays haben O(n) Zugriffszeit
3.DatenstrukturenMittel

Eine In-Order-Traversierung eines binären Suchbaums besucht die Schlüssel in:

  1. AEbenenweiser Reihenfolge (Level-Order)
  2. BAufsteigend sortierter Reihenfolge
  3. CImmer absteigender Reihenfolge
  4. DEinfügereihenfolge
4.DatenstrukturenSchwer

Durch das Einfügen eines Schlüssels in einen AVL-Baum wird der linke Teilbaum eines Knotens zu hoch, und der neue Schlüssel landete im linken Teilbaum seines linken Kindes (Links-links-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AUmfärben des Knotens und seines Kindes
  2. BEine Linksrotation am Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  3. CEine einfache Linksrotation am unbalancierten Knoten
  4. DEine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 7 Knoten und 7 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 7|E| = 7
k =
6.GraphentheorieSchwer
51412158163ABCDEF

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 3
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DF
  7. 7Kante EF
  8. 8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Die Rekursion ist n Aufrufe tief, bevor einer zurückkehrt, und jeder Aufruf braucht einen Stackframe, also beträgt der Speicherbedarf O(n).

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Viele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren

Warum das die Antwort ist

Mit einer guten Hashfunktion und einem passenden Füllgrad (Load Factor) bleiben Buckets im Durchschnitt kurz; gezielte Angriffe oder schlechtes Hashing können alle Schlüssel in einen Bucket legen.

Antwort

C · Viele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Aufsteigend sortierter Reihenfolge

Warum das die Antwort ist

Wird erst der linke Teilbaum, dann der Knoten und dann der rechte Teilbaum besucht, werden die BST-Schlüssel sortiert ausgegeben.

Antwort

B · Aufsteigend sortierter Reihenfolge
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten

Warum das die Antwort ist

Im Links-links-Fall hebt eine Rechtsrotation das linke Kind nach oben und stellt die Balance wieder her; Zickzack-Fälle brauchen eine Doppelrotation.

Antwort

D · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: k = 1

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

7 − 1 = 6

Zu entfernende Kanten

k = 7 − 6 = 1

Antwort

k = 1
6.Graphentheorie

Antwort: Kante BE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. BC (1)
2. BD (2)
3. BE (3)
4. AB (5)
5. DF (8)

Kantennummer 3

BE

Antwort

Kante BE

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