Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl mit einer Bottom-up-Tabelle?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
  2. BUnmöglich zu lösen ist
  3. CAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
  4. DIn Polynomialzeit lösbar ist
3.DatenstrukturenMittel

Was gilt für die Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen?

  1. AIhre Hauptdiagonale enthält immer Einsen
  2. BSie ist immer eine obere Dreiecksmatrix
  3. CJede Zeile hat genau eine 1
  4. DSie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
4.DatenstrukturenSchwer

Mit welcher Struktur lässt sich das Maximum jedes Fensters der Größe k in einem Array insgesamt in O(n) berechnen?

  1. AEine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
  2. BEin für jedes Fenster neu aufgebauter Min-Heap
  3. CEin sortiertes Array, das durch Verschieben aktualisiert wird
  4. DEine einfach verkettete Liste der Fensterelemente
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1720141915111382ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Das Füllen der Tabelle von 0 bis n kostet eine Addition pro Eintrag, also ist der Aufwand linear statt exponentiell.

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

A · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale

Warum das die Antwort ist

In einem ungerichteten Graphen bedeutet die Kante {u, v}, dass sowohl M[u][v] als auch M[v][u] gesetzt sind, daher ist die Matrix gleich ihrer Transponierten.

Antwort

D · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte

Warum das die Antwort ist

Das vordere Ende der Deque ist immer das Maximum des Fensters; jeder Index kommt einmal hinein und einmal heraus, daher ist der Aufwand linear.

Antwort

A · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Ungerade Knoten

A, C, D, F → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: W = 65

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GE (2): nehmen
GD (8): nehmen
EF (11): nehmen
GC (13): nehmen
BD (14): nehmen
DF (15): überspringen, schließt einen Kreis
AB (17): nehmen

Gesamtgewicht

W = 2 + 8 + 11 + 13 + 14 + 17 = 65

Antwort

W = 65

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