Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Zeitkomplexität hat der Aufbau eines binären Heaps aus n unsortierten Elementen mit der Bottom-up-Methode?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.DatenstrukturenMittel

Warum ist das Durchlaufen eines Arrays in der Praxis oft viel schneller als das einer gleich langen verketteten Liste?

  1. AArrays brauchen weniger Instruktionen zum Vergleichen von Werten
  2. BDas Durchlaufen eines Arrays ist insgesamt O(1), das einer verketteten Liste O(n)
  3. CArray-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
  4. DVerkettete Listen speichern Elemente immer auf der Festplatte
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Operationen unterstützt ein Fenwick-Baum (Binary Indexed Tree) über einem Array von n Zahlen in O(log n)?

  1. ASortieren des Arrays und binäre Suche
  2. BFinden des Medians in O(1)
  3. CEinfügen von Elementen an beliebiger Position
  4. DPräfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
191299121511ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der Aufwand summiert sich auf etwa n² / 2; das ist die Rekursionsgleichung von Selectionsort oder von Quicksort mit dem schlechtesten Pivot.

Antwort

C · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

Summiert man die Kosten des Absinkens (Sift-down) über alle Ebenen, erhält man eine konvergente Reihe, daher läuft Heapify in linearer Zeit.

Antwort

A · O(n)
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

Warum das die Antwort ist

Zusammenhängender Speicher bietet gute Lokalität, während verkettete Knoten verstreut liegen und viele Cache-Misses verursachen können.

Antwort

C · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

Warum das die Antwort ist

Ein Fenwick-Baum speichert Teilsummen über Bereiche, die durch die niedrigen Bits jedes Index bestimmt werden, daher kosten Präfixsummen und Punktaktualisierungen jeweils O(log n).

Antwort

D · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
5.Graphentheorie

Antwort: L = 26

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 48 = 2(L + 12) − 2
L = 26

Antwort

L = 26

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 1, C: 9
2. B (1): D: 10
3. C (9): E: 18
4. D (10): F: 25
5. E (18)
6. F (25)

Runde 4

D

Antwort

D

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