Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was berechnet der Floyd-Warshall-Algorithmus, und wie schnell?

  1. AKürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
  2. BKürzeste Wege von einem Startknoten zu allen anderen in O(V + E)
  3. CEinen minimalen Spannbaum in O(E log V)
  4. DEine topologische Sortierung in O(V²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Der Held-Karp-Algorithmus der dynamischen Programmierung löst das Problem des Handlungsreisenden exakt. Welche Laufzeit hat er für n Städte?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n!)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n³)
3.DatenstrukturenMittel

Was gilt für die Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen?

  1. ASie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
  2. BIhre Hauptdiagonale enthält immer Einsen
  3. CSie ist immer eine obere Dreiecksmatrix
  4. DJede Zeile hat genau eine 1
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Datenstruktur ermöglicht einen LRU-Cache (least recently used) mit get und put in O(1)?

  1. AEine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
  2. BNur ein Stack
  3. CEin einzelnes sortiertes Array
  4. DNur ein binärer Suchbaum
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 19 Knoten und 24 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 19|E| = 24
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 2 führen von E nach D? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)

Warum das die Antwort ist

Floyd-Warshall ist ein Algorithmus der dynamischen Programmierung, der nacheinander jeden Knoten als Zwischenknoten zulässt und O(V³) Zeit braucht.

Antwort

A · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n² 2ⁿ)

Warum das die Antwort ist

Es gibt etwa n 2ⁿ Zustände, die jeweils in O(n) berechnet werden; das ist exponentiell, aber weit schneller, als alle (n − 1)! Rundreisen auszuprobieren.

Antwort

C · O(n² 2ⁿ)
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale

Warum das die Antwort ist

In einem ungerichteten Graphen bedeutet die Kante {u, v}, dass sowohl M[u][v] als auch M[v][u] gesetzt sind, daher ist die Matrix gleich ihrer Transponierten.

Antwort

A · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Die Hashmap findet Knoten in O(1), und die doppelt verkettete Liste verschiebt zugegriffene Elemente nach vorne und entfernt hinten in O(1).

Antwort

A · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
5.Graphentheorie

Antwort: k = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

19 − 1 = 18

Zu entfernende Kanten

k = 24 − 18 = 6

Antwort

k = 6
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)ED = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 + 1·1 = 2

Antwort

N = 2

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