Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Eine Funktion führt eine Schleife mit n Iterationen und danach, getrennt davon, eine weitere Schleife mit n Iterationen aus. Welche Zeitkomplexität hat sie?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das 0/1-Rucksackproblem benötigt mit dynamischer Programmierung O(nW) Zeit. Warum nennt man das pseudopolynomiell?

  1. AW ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
  2. BWeil n immer klein ist
  3. CWeil der Algorithmus randomisiert ist und seine Laufzeit je nach Eingabe schwankt
  4. DWeil er nur für W = 0 funktioniert
3.DatenstrukturenMittel

Warum kann ein binärer Heap ganz ohne Zeiger in einem Array gespeichert werden?

  1. AEr ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
  2. BAlle Schlüssel in einem Heap sind gleich
  3. CHeaps enthalten nie mehr als 100 Elemente
  4. DArrays halten Schlüssel automatisch sortiert, sodass keine Zeiger nötig sind
4.DatenstrukturenSchwer

Warum kann man Elemente aus einem Standard-Bloom-Filter nicht einfach durch Löschen ihrer Bits entfernen?

  1. ABits in einem Bloom-Filter können nach der Erstellung nicht geändert werden
  2. BLöschen würde die Falsch-positiv-Rate auf 100 % erhöhen
  3. CBloom-Filter speichern die vollständigen Elemente, die nach dem Hashen nicht wiedergefunden werden können
  4. DDiese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 19 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 19
k =
6.GraphentheorieSchwer
9117141816ABCDE

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten B. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt.

Start: Bk = 3
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

n + n = 2n, und konstante Faktoren fallen weg, also ist die Funktion O(n).

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird

Warum das die Antwort ist

Die Laufzeit ist polynomiell im Wert von W, aber exponentiell in dessen Länge (log W Bits); das 0/1-Rucksackproblem ist NP-vollständig.

Antwort

A · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln

Warum das die Antwort ist

Vollständigkeit bedeutet, dass es keine Lücken gibt, daher liegen die Kinder von Index i immer bei 2i + 1 und 2i + 2.

Antwort

A · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

Warum das die Antwort ist

Das Löschen eines geteilten Bits würde ein anderes Element als fehlend erscheinen lassen; zählende Bloom-Filter verwenden Zähler statt Bits, um Löschen zu ermöglichen.

Antwort

D · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.Graphentheorie

Antwort: k = 7

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 19 − 12 = 7

Antwort

k = 7
6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. BD (1)
2. BC (7)
3. CE (4)
4. AB (9)

Kantennummer 3

CE

Antwort

Kante CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms