Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1)-Arbeit?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Laufzeit hat der Dijkstra-Algorithmus mit einem binären Heap auf einem Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V³)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
3.DatenstrukturenMittel

Ein Straßennetz hat 100,000 Kreuzungen, die jeweils mit etwa 4 anderen verbunden sind. Welche Darstellung ist am besten geeignet?

  1. AEin einziges sortiertes Array der Knoten
  2. BAdjazenzmatrix
  3. CEin binärer Heap der Kanten
  4. DAdjazenzliste
4.DatenstrukturenSchwer

In einem Ringpuffer kann front == rear entweder leer oder voll bedeuten. Wie unterscheidet man das üblicherweise?

  1. ADie Puffergröße zu einer Zweierpotenz machen
  2. BDen Puffer immer leeren, wenn front gleich rear ist, sodass der Zustand leer ist
  3. CFront und rear in derselben Variablen speichern
  4. DEinen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 34 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
131413154815ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der innere Rumpf wird insgesamt n(n + 1) / 2-mal ausgeführt, was immer noch quadratisch ist.

Antwort

C · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O((V + E) log V)

Warum das die Antwort ist

Es gibt V Extract-Min- und bis zu E Decrease-Key-Operationen mit jeweils O(log V); ein Fibonacci-Heap verbessert dies auf O(E + V log V).

Antwort

A · O((V + E) log V)
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Adjazenzliste

Warum das die Antwort ist

Eine Matrix bräuchte 1010 Zellen, fast alle leer; eine Adjazenzliste speichert nur die rund 400,000 Kanteneinträge.

Antwort

D · Adjazenzliste
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Zähler bedeutet leer count = 0 und voll count = Kapazität; mit einem freien Platz ist voll als (rear + 1) mod n == front definiert.

Antwort

D · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
5.Graphentheorie

Antwort: L = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 20 = 2(L + 8) − 2
L = 6

Antwort

L = 6

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 29

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 13
C (13): B: 27, E: 28
B (27): D: 40
E (28): D: 32, F: 29
F (29)
D (32)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 29

Antwort

d(F) = 29

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