Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der übliche Algorithmus der dynamischen Programmierung für die längste gemeinsame Teilfolge zweier Zeichenketten der Längen m und n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(mn)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Zeitkomplexität hat der Aufbau eines binären Heaps aus n unsortierten Elementen mit der Bottom-up-Methode?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.DatenstrukturenMittel

Warum kann ein binärer Heap ganz ohne Zeiger in einem Array gespeichert werden?

  1. AHeaps enthalten nie mehr als 100 Elemente
  2. BEr ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
  3. CArrays halten Schlüssel automatisch sortiert, sodass keine Zeiger nötig sind
  4. DAlle Schlüssel in einem Heap sind gleich
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Paar von Traversierungen bestimmt immer einen eindeutigen Binärbaum mit verschiedenen Schlüsseln?

  1. ALevel-Order allein
  2. BPre-Order allein
  3. CPre-Order und Post-Order
  4. DPre-Order und In-Order
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 6 Knoten und 13 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 6|E| = 13
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele Wege der Länge 3 führen von A nach D? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(mn)

Warum das die Antwort ist

Die Tabelle hat (m + 1)(n + 1) Zellen, und jede wird in O(1) aus ihren Nachbarn berechnet.

Antwort

D · O(mn)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Summiert man die Kosten des Absinkens (Sift-down) über alle Ebenen, erhält man eine konvergente Reihe, daher läuft Heapify in linearer Zeit.

Antwort

D · O(n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln

Warum das die Antwort ist

Vollständigkeit bedeutet, dass es keine Lücken gibt, daher liegen die Kinder von Index i immer bei 2i + 1 und 2i + 2.

Antwort

B · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Pre-Order und In-Order

Warum das die Antwort ist

Pre-Order liefert die Wurzel, und ihre Position in der In-Order-Folge trennt linken und rechten Teilbaum; Pre-Order mit Post-Order ist mehrdeutig, wenn ein Knoten nur ein Kind hat.

Antwort

D · Pre-Order und In-Order
5.Graphentheorie

Antwort: k = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

6 − 1 = 5

Zu entfernende Kanten

k = 13 − 5 = 8

Antwort

k = 8
6.Graphentheorie

Antwort: N = 3

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)AD = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 = 3

Antwort

N = 3

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