Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum bringt dynamische Programmierung bei Mergesort keine echte Beschleunigung?

  1. AMergesort ist bereits O(n)
  2. BMergesort hat keine rekursive Struktur
  3. CDynamische Programmierung funktioniert nur bei Graphenproblemen, nicht bei Arrays
  4. DSeine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Zeit- und Speicherkosten hat die Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl mit einer Schleife, die nur die letzten beiden Werte behält?

  1. AO(log n) Zeit und O(n) Speicher
  2. BO(2ⁿ) Zeit und O(1) Speicher
  3. CO(n) Zeit und O(n) Speicher
  4. DO(n) Zeit und O(1) Speicher
3.DatenstrukturenMittel

Was ist der größtmögliche Füllgrad einer Hashtabelle mit offener Adressierung?

  1. AEs gibt kein Maximum
  2. B0,5
  3. C1
  4. D2
4.DatenstrukturenSchwer

In einem Ringpuffer kann front == rear entweder leer oder voll bedeuten. Wie unterscheidet man das üblicherweise?

  1. ADen Puffer immer leeren, wenn front gleich rear ist, sodass der Zustand leer ist
  2. BEinen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
  3. CFront und rear in derselben Variablen speichern
  4. DDie Puffergröße zu einer Zweierpotenz machen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1011182915212ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden

Warum das die Antwort ist

Die Hälften bei Mergesort sind disjunkt und werden jeweils einmal gelöst; DP hilft nur, wenn Teilprobleme wiederkehren, wie bei Fibonacci.

Antwort

D · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n) Zeit und O(1) Speicher

Warum das die Antwort ist

Jeder Schritt braucht nur die beiden vorherigen Werte, daher kann die Tabelle der Bottom-up-Methode durch zwei Variablen ersetzt werden.

Antwort

D · O(n) Zeit und O(1) Speicher
3.Datenstrukturen

Antwort: C · 1

Warum das die Antwort ist

Bei offener Adressierung liegen alle Schlüssel in der Tabelle selbst, daher kann n nicht größer als m sein; bei Separate Chaining kann der Füllgrad über 1 liegen.

Antwort

C · 1
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Zähler bedeutet leer count = 0 und voll count = Kapazität; mit einem freien Platz ist voll als (rear + 1) mod n == front definiert.

Antwort

B · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: G

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 10, C: 11
2. B (10): D: 18, G: 12
3. C (11)
4. G (12)
5. D (18): E: 20, F: 27
6. E (20)
7. F (27)

Runde 4

G

Antwort

G

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