Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

AKruskal-Algorithmus
BBellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
CTiefensuche (DFS)
DDijkstra-Algorithmus

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie erkennt der Bellman-Ford-Algorithmus einen vom Startknoten erreichbaren Kreis mit negativem Gewicht?

ANach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt
BEr führt den Dijkstra-Algorithmus zweimal aus und vergleicht die beiden Distanzergebnisse
CEr prüft, ob irgendeine Kante ein negatives Gewicht hat
DEr zählt die Kreise mit einer Tiefensuche

3.DatenstrukturenMittel

Was kostet das Einfügen eines Elements in der Mitte eines Arrays mit n Elementen?

AO(log n), wegen der binären Suche
BO(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
CO(1), weil der Index bekannt ist
DO(n²), weil jedes Element n-mal verschoben wird

4.DatenstrukturenSchwer

Welche Operationen unterstützt ein Fenwick-Baum (Binary Indexed Tree) über einem Array von n Zahlen in O(log n)?

APräfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
BFinden des Medians in O(1)
CSortieren des Arrays und binäre Suche
DEinfügen von Elementen an beliebiger Position

5.GraphentheorieMittel

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 8

1Euler-Kreis
2Euler-Weg, kein Kreis
3keines von beiden

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F

d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

D · Dijkstra-Algorithmus

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt

Warum das die Antwort ist

Alle echten kürzesten Distanzen sind nach V − 1 Runden gefunden; lässt sich eine Kante noch verbessern, muss ein negativer Kreis existieren.

Antwort

A · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt

3.Datenstrukturen

Antwort: B · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente nach der Einfügestelle rücken um eine Position nach rechts, was Zeit proportional zu n kostet.

Antwort

B · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

4.Datenstrukturen

Antwort: A · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

Warum das die Antwort ist

Ein Fenwick-Baum speichert Teilsummen über Bereiche, die durch die niedrigen Bits jedes Index bestimmt werden, daher kosten Präfixsummen und Punktaktualisierungen jeweils O(log n).

Antwort

A · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

B, C, D, E, F, G → 6

keines von beiden

Antwort

keines von beiden

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 8

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 4, C: 15

B (4): D: 5, G: 12

D (5): F: 8, G: 8

F (8): E: 16

G (8): C: 9

C (9): E: 15

E (15)

Kürzester Weg

A → B → D → F

d(F) = 8

Antwort

d(F) = 8

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