Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AEine einzige Schleife
  2. BÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
  3. CÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
  4. DNur zufällige Eingaben
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Nach dem Master-Theorem hat T(n) = 8T(n/2) + O(n²) die Lösung:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n² log n)
3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

  1. AUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst
  2. BEr hält die Liste sortiert
  3. CEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
  4. DEr speichert die Anzahl der Elemente
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind Zeit- und zusätzlicher Speicherbedarf, wenn man eine einfach verkettete Liste an Ort und Stelle umkehrt?

  1. AO(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  2. BO(n log n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  3. CO(n) Zeit und O(n) zusätzlicher Speicher
  4. DO(1) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
15171120810319413ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

B · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Θ(n³)

Warum das die Antwort ist

log₂ 8 = 3, und n² wächst langsamer als n³, daher dominieren die Blätter: Θ(n³).

Antwort

B · Θ(n³)
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

C · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.Datenstrukturen

Antwort: A · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher

Warum das die Antwort ist

Mit drei Zeigern (previous, current, next) kannst du jede Verbindung in einem Durchlauf umkehren, ohne neue Knoten anzulegen.

Antwort

A · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

A, B, C, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: W = 57

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GB (3): nehmen
GD (4): nehmen
DE (8): nehmen
DF (10): nehmen
BD (11): überspringen, schließt einen Kreis
GE (13): überspringen, schließt einen Kreis
AB (15): nehmen
BC (17): nehmen

Gesamtgewicht

W = 3 + 4 + 8 + 10 + 15 + 17 = 57

Antwort

W = 57

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms