Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1)-Arbeit?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. AEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
  2. BNP bedeutet „nicht polynomiell“
  3. CLösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
  4. DJedes Problem in P liegt auch in NP
3.DatenstrukturenMittel

Wo liegt in einem binären Heap, der in einem Array ab Index 0 gespeichert ist, der Elternknoten des Knotens mit Index i?

  1. ABei Index ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BBei Index ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CBei Index i − 1
  4. DBei Index 2i + 1
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  2. BEin sortiertes Array aller n Werte
  3. CEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  4. DEine FIFO-Queue der letzten k Werte
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 10 Knoten und 12 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 10|E| = 12
k =
6.GraphentheorieSchwer
121210101462415ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der innere Rumpf wird insgesamt n(n + 1) / 2-mal ausgeführt, was immer noch quadratisch ist.

Antwort

C · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

D · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Bei Index ⌊(i − 1) / 2⌋

Warum das die Antwort ist

Die Kinder von i liegen bei 2i + 1 und 2i + 2, also liegt der Elternknoten von i bei ⌊(i − 1) / 2⌋; bei 1-basierter Indizierung ist es ⌊i / 2⌋.

Antwort

A · Bei Index ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

A · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: k = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

10 − 1 = 9

Zu entfernende Kanten

k = 12 − 9 = 3

Antwort

k = 3
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 14

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 1, C: 2
B (1): D: 11
C (2): E: 12
D (11): F: 17, G: 15
E (12): F: 14
F (14)
G (15)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 14

Antwort

d(F) = 14

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