Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. A3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
  2. BAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
  3. CSchaltkreis-Erfüllbarkeit
  4. D2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.DatenstrukturenMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Suche nach einem Schlüssel in einem balancierten binären Suchbaum?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.DatenstrukturenSchwer

Durch das Einfügen eines Schlüssels in einen AVL-Baum wird der linke Teilbaum eines Knotens zu hoch, und der neue Schlüssel landete im linken Teilbaum seines linken Kindes (Links-links-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AUmfärben des Knotens und seines Kindes
  2. BEine Linksrotation am Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  3. CEine einfache Linksrotation am unbalancierten Knoten
  4. DEine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 5, 4 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
44112611214ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(2ⁿ)

Warum das die Antwort ist

Die Zahl der Aufrufe verdoppelt sich mit jeder Ebene, und es gibt n Ebenen, also ergibt sich insgesamt etwa 2ⁿ, wie bei den Türmen von Hanoi.

Antwort

B · O(2ⁿ)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

D · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: D · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter Baum hat eine Höhe von etwa log₂ n, daher folgt eine Suche einem einzigen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt.

Antwort

D · O(log n)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten

Warum das die Antwort ist

Im Links-links-Fall hebt eine Rechtsrotation das linke Kind nach oben und stellt die Balance wieder her; Zickzack-Fälle brauchen eine Doppelrotation.

Antwort

D · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: L = 17

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17

Antwort

L = 17

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 12

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 4, C: 4
B (4): D: 6, E: 18
C (4): E: 10
D (6)
E (10): F: 12
F (12)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 12

Antwort

d(F) = 12

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