Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Quicksort verwendet immer das erste Element als Pivot. Bei welcher Eingabe zeigt es sein Worst-Case-Verhalten?

  1. ABei einem Array, dessen Elemente alle verschieden sind
  2. BBei einem Array der Länge 2
  3. CBei einem Array in zufälliger Reihenfolge
  4. DBei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log² n)
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur verwendet die Tiefensuche (DFS) in der iterativen Variante?

  1. AEine Queue
  2. BEinen Stack
  3. CEinen Heap
  4. DNur eine Hashtabelle
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Laufzeit hat die Breitensuche auf einem Graphen mit V Knoten, der als Adjazenzmatrix gespeichert ist?

  1. AO(V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(E log V)
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
721571311158ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(D) des kürzesten Weges von A nach D im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: D
d(D) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Bei einem bereits sortierten Array

Warum das die Antwort ist

Bei sortierter Eingabe ist das Pivot immer das Minimum, sodass eine Seite leer ist und die andere n − 1 Elemente hat; das ergibt O(n²).

Antwort

D · Bei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Θ(n log² n)

Warum das die Antwort ist

Ebene k leistet etwa n log(n / 2ᵏ) Arbeit, und die Summe über log n Ebenen ergibt Θ(n log² n), den erweiterten zweiten Fall des Master-Theorems.

Antwort

D · Θ(n log² n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Einen Stack

Warum das die Antwort ist

DFS geht so tief wie möglich und nutzt daher natürlicherweise einen Stack (oder den Aufrufstack der Rekursion); BFS verwendet eine Queue.

Antwort

B · Einen Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: C · O(V²)

Warum das die Antwort ist

Jeder der V Knoten durchsucht eine Zeile mit V Einträgen, das ergibt O(V²); mit Adjazenzlisten ist BFS O(V + E).

Antwort

C · O(V²)
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

B, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(D) = 14

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 7, C: 2
C (2): E: 15
B (7): D: 14
D (14): F: 25
E (15)
F (25)

Kürzester Weg

A → B → D
d(D) = 14

Antwort

d(D) = 14

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