Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der Bellman-Ford-Algorithmus auf einem Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Die Karatsuba-Multiplikation erfüllt T(n) = 3T(n/2) + O(n). Was ist die Lösung?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), etwa n1,585
  4. DΘ(n3)
3.DatenstrukturenMittel

Wo liegt in einem binären Heap, der in einem Array ab Index 0 gespeichert ist, der Elternknoten des Knotens mit Index i?

  1. ABei Index i − 1
  2. BBei Index ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CBei Index ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DBei Index 2i + 1
4.DatenstrukturenSchwer

Wie verbessert ein Radix-Baum (komprimierter Trie) einen einfachen Trie?

  1. AEr sortiert die Kinder jedes Knotens nach Häufigkeit
  2. BEr fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
  3. CEr speichert jedes Wort in einer Hashtabelle an der Wurzel statt in einzelnen Knoten
  4. DEr behält nur den ersten Buchstaben jedes Worts
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1310415261515ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(V × E)

Warum das die Antwort ist

Jede der V − 1 Runden relaxiert alle E Kanten, das ergibt O(VE); dafür kann er mit negativen Kantengewichten umgehen.

Antwort

D · O(V × E)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Θ(nlog₂ 3), etwa n1,585

Warum das die Antwort ist

Da log₂ 3 ≈ 1,585 > 1 ist, dominieren nach dem Master-Theorem die Blätter; das schlägt die O(n²)-Schulmethode.

Antwort

C · Θ(nlog₂ 3), etwa n1,585
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Bei Index ⌊(i − 1) / 2⌋

Warum das die Antwort ist

Die Kinder von i liegen bei 2i + 1 und 2i + 2, also liegt der Elternknoten von i bei ⌊(i − 1) / 2⌋; bei 1-basierter Indizierung ist es ⌊i / 2⌋.

Antwort

C · Bei Index ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen

Warum das die Antwort ist

Das Zusammenfassen unverzweigter Pfade verringert die Anzahl der Knoten und den Speicherbedarf, während die Präfixsuche erhalten bleibt.

Antwort

B · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

B, C → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 27

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13, C: 10
C (10): E: 12
E (12): F: 27
B (13): D: 28
F (27)
D (28)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 27

Antwort

d(F) = 27

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