Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

  1. ADijkstra-Algorithmus
  2. BBellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
  3. CTiefensuche (DFS)
  4. DKruskal-Algorithmus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  2. BManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  3. CJedes Programm irgendwann anhält
  4. DSchleifen vermieden werden sollten
3.DatenstrukturenMittel

Ein Ringpuffer (Circular Buffer) wird häufig verwendet, um Folgendes zu implementieren:

  1. AEine Graphtraversierung
  2. BEine Warteschlange fester Größe
  3. CEinen binären Suchbaum
  4. DEine Hashfunktion
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Bloom-Filter kann die Frage „Ist dieses Element in der Menge?“ beantworten mit:

  1. AMöglichen falsch-negativen, aber keinen falsch-positiven Ergebnissen
  2. BImmer exakten Antworten
  3. CMöglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
  4. DAntworten nur für Zahlen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1110151913271613ABCDEFG

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten B. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt.

Start: Bk = 3
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante DF
  8. 8Kante EF
  9. 9Kante GD
  10. 10Kante GE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

A · Dijkstra-Algorithmus
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

A · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Eine Warteschlange fester Größe

Warum das die Antwort ist

Ein Ringpuffer verwendet Head- und Tail-Indizes, die umlaufen, und ermöglicht so enqueue und dequeue in O(1) bei festem Speicher.

Antwort

B · Eine Warteschlange fester Größe
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen

Warum das die Antwort ist

Ist eines der Bits für ein Element 0, fehlt es definitiv; sind alle 1, ist es wahrscheinlich vorhanden. Bloom-Filter tauschen Genauigkeit gegen sehr wenig Speicher.

Antwort

C · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

B, D → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. AB (11)
2. AC (10)
3. CE (1)
4. DE (3)
5. DF (2)
6. GE (13)

Kantennummer 3

CE

Antwort

Kante CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms