Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Der Strassen-Algorithmus multipliziert Matrizen mit 7 statt 8 rekursiven Multiplikationen von Blöcken halber Größe. Welche Laufzeit hat er?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(nlog₂ 7), etwa n2,81
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.DatenstrukturenMittel

Wie viel Speicher benötigt eine Adjazenzliste für einen Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(E²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Datenstruktur ermöglicht einen LRU-Cache (least recently used) mit get und put in O(1)?

  1. AEine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
  2. BEin einzelnes sortiertes Array
  3. CNur ein binärer Suchbaum
  4. DNur ein Stack
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 4, 2 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 42 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
491192163ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem dominiert nlog₂ 2 = n den konstanten Aufwand, also T(n) = Θ(n), wie beim Finden eines Maximums durch Halbieren.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Θ(nlog₂ 7), etwa n2,81

Warum das die Antwort ist

Mit a = 7 und b = 2 dominiert nlog₂ 7 den O(n²)-Additionsaufwand, das ergibt etwa n2,81.

Antwort

B · Θ(nlog₂ 7), etwa n2,81
3.Datenstrukturen

Antwort: C · O(V + E)

Warum das die Antwort ist

Jeder Knoten hat eine Liste, und jede Kante erscheint einmal (gerichtet) oder zweimal (ungerichtet), das ergibt O(V + E).

Antwort

C · O(V + E)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Die Hashmap findet Knoten in O(1), und die doppelt verkettete Liste verschiebt zugegriffene Elemente nach vorne und entfernt hinten in O(1).

Antwort

A · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
5.Graphentheorie

Antwort: L = 16

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

Antwort

L = 16

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 23

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BC (1): nehmen
CE (2): nehmen
BE (3): überspringen, schließt einen Kreis
AB (4): nehmen
AC (9): überspringen, schließt einen Kreis
DE (16): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 2 + 4 + 16 = 23

Antwort

W = 23

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