Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat Quicksort im Worst Case?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AIn Polynomialzeit lösbar ist
  2. BAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
  3. CIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
  4. DUnmöglich zu lösen ist
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird ein neues Element in einen binären Heap eingefügt?

  1. AIn die Wurzel setzen und nach unten wandern lassen
  2. BDen ganzen Heap von Grund auf neu aufbauen
  3. CAns Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
  4. DAn der sortierten Position einfügen, indem alle größeren Elemente um eine Stelle nach rechts verschoben werden
4.DatenstrukturenSchwer

Mit welcher Struktur lässt sich das Maximum jedes Fensters der Größe k in einem Array insgesamt in O(n) berechnen?

  1. AEine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
  2. BEine einfach verkettete Liste der Fensterelemente
  3. CEin für jedes Fenster neu aufgebauter Min-Heap
  4. DEin sortiertes Array, das durch Verschieben aktualisiert wird
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 14 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 14
k =
6.GraphentheorieSchwer
10661127445ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Bei durchgehend schlechten Pivots (z. B. bereits sortierte Eingabe und das erste Element als Pivot) sind die Partitionen unausgeglichen, was O(n²) ergibt. Der Average Case ist O(n log n).

Antwort

C · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

C · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt

Warum das die Antwort ist

Das Hinzufügen am Ende hält den Baum vollständig; das Vertauschen mit dem Elternknoten stellt die Ordnung in O(log n) Schritten wieder her.

Antwort

C · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte

Warum das die Antwort ist

Das vordere Ende der Deque ist immer das Maximum des Fensters; jeder Index kommt einmal hinein und einmal heraus, daher ist der Aufwand linear.

Antwort

A · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 14 − 12 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 26

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 10, C: 6
C (6): E: 7, G: 10
E (7)
B (10): D: 16
G (10): D: 14
D (14): F: 26
F (26)

Kürzester Weg

A → C → G → D → F
d(F) = 26

Antwort

d(F) = 26

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