Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Du sortierst ein Array mit n Elementen einmal und beantwortest danach k Enthaltenseinsanfragen mit binärer Suche. Wie hoch sind die Gesamtkosten?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum braucht jede vergleichsbasierte Suche in einem sortierten Array im Worst Case Ω(log n) Vergleiche?

  1. AJedes Element muss mindestens einmal verglichen werden
  2. BEin Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
  3. CJeder Vergleich braucht logarithmische Zeit
  4. DDie binäre Suche ist der einzig mögliche Algorithmus und braucht log₂ n Vergleiche
3.DatenstrukturenMittel

Wo liegt in einem binären Heap, der in einem Array ab Index 0 gespeichert ist, der Elternknoten des Knotens mit Index i?

  1. ABei Index 2i + 1
  2. BBei Index ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CBei Index ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DBei Index i − 1
4.DatenstrukturenSchwer

Wofür wird die Union-Find-Struktur in Kruskals Algorithmus für minimale Spannbäume verwendet?

  1. AUm den Startknoten zu wählen
  2. BUm während der Suche die aktuelle Distanz jedes Knotens von der Quelle zu speichern
  3. CUm zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
  4. DUm die Kanten nach Gewicht zu sortieren
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 4, 2 Knoten vom Grad 5, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
58181377ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n log n + k log n)

Warum das die Antwort ist

Das Sortieren kostet O(n log n) und jede Anfrage O(log n); das schlägt k lineare Durchläufe (O(nk)), wenn k groß ist.

Antwort

B · O(n log n + k log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben

Warum das die Antwort ist

Jeder Vergleich halbiert die Menge der verbleibenden Möglichkeiten höchstens, also braucht die Unterscheidung von n Positionen mindestens log₂ n Vergleiche.

Antwort

B · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Bei Index ⌊(i − 1) / 2⌋

Warum das die Antwort ist

Die Kinder von i liegen bei 2i + 1 und 2i + 2, also liegt der Elternknoten von i bei ⌊(i − 1) / 2⌋; bei 1-basierter Indizierung ist es ⌊i / 2⌋.

Antwort

C · Bei Index ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind

Warum das die Antwort ist

Find zeigt, ob beide Endpunkte in derselben Komponente liegen; wenn nicht, wird die Kante hinzugefügt und union verschmilzt die Komponenten.

Antwort

C · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
5.Graphentheorie

Antwort: L = 18

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Antwort

L = 18

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 5, C: 8
2. B (5): C: 6, D: 13, E: 12
3. C (6)
4. E (12): F: 19
5. D (13): F: 16
6. F (16)

Runde 5

D

Antwort

D

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