Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Du sortierst ein Array mit n Elementen einmal und beantwortest danach k Enthaltenseinsanfragen mit binärer Suche. Wie hoch sind die Gesamtkosten?

  1. AO(n + k)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. ANur dieses eine Problem würde nach P wandern
  2. BAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  3. CJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
  4. DDas Halteproblem würde entscheidbar
3.DatenstrukturenMittel

Eine In-Order-Traversierung eines binären Suchbaums besucht die Schlüssel in:

  1. AEinfügereihenfolge
  2. BEbenenweiser Reihenfolge (Level-Order)
  3. CImmer absteigender Reihenfolge
  4. DAufsteigend sortierter Reihenfolge
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind Zeit- und zusätzlicher Speicherbedarf, wenn man eine einfach verkettete Liste an Ort und Stelle umkehrt?

  1. AO(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  2. BO(n) Zeit und O(n) zusätzlicher Speicher
  3. CO(1) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  4. DO(n log n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele Wege der Länge 2 führen von A nach C? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n log n + k log n)

Warum das die Antwort ist

Das Sortieren kostet O(n log n) und jede Anfrage O(log n); das schlägt k lineare Durchläufe (O(nk)), wenn k groß ist.

Antwort

B · O(n log n + k log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

C · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Aufsteigend sortierter Reihenfolge

Warum das die Antwort ist

Wird erst der linke Teilbaum, dann der Knoten und dann der rechte Teilbaum besucht, werden die BST-Schlüssel sortiert ausgegeben.

Antwort

D · Aufsteigend sortierter Reihenfolge
4.Datenstrukturen

Antwort: A · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher

Warum das die Antwort ist

Mit drei Zeigern (previous, current, next) kannst du jede Verbindung in einem Durchlauf umkehren, ohne neue Knoten anzulegen.

Antwort

A · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)AC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 = 1

Antwort

N = 1

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