Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie baut der Algorithmus von Prim einen minimalen Spannbaum auf?

  1. AEr führt eine Breitensuche aus und behält den BFS-Baum
  2. BEr lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
  3. CEr sortiert alle Kanten nach Gewicht und fügt jede hinzu, sofern sie im Wald keinen Kreis bildet
  4. DEr entfernt die teuerste Kante, bis keine Kreise mehr übrig sind
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1)-Arbeit?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.DatenstrukturenMittel

Was kostet das Einfügen eines Elements in der Mitte eines Arrays mit n Elementen?

  1. AO(n²), weil jedes Element n-mal verschoben wird
  2. BO(1), weil der Index bekannt ist
  3. CO(log n), wegen der binären Suche
  4. DO(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
4.DatenstrukturenSchwer

Das Löschen eines Knotens mit zwei Kindknoten aus einem binären Suchbaum erfolgt üblicherweise durch:

  1. ADen darunterliegenden Teilbaum von Grund auf neu aufbauen und jeden darin enthaltenen Schlüssel erneut einfügen
  2. BEntfernen des gesamten Teilbaums
  3. CErsetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens
  4. DVertauschen mit der Wurzel
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 5, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
91081051312ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt

Warum das die Antwort ist

Der Algorithmus von Prim läuft mit einer Prioritätswarteschlange der kreuzenden Kanten bei einem binären Heap in O(E log V).

Antwort

B · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Die Summe ist n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, und die harmonische Zahl Hn ist Θ(log n).

Antwort

C · O(n log n)
3.Datenstrukturen

Antwort: D · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente nach der Einfügestelle rücken um eine Position nach rechts, was Zeit proportional zu n kostet.

Antwort

D · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ersetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens

Warum das die Antwort ist

Der In-Order-Nachfolger hat höchstens ein Kind, daher lässt er sich leicht entfernen, nachdem sein Schlüssel in den zu löschenden Knoten kopiert wurde.

Antwort

C · Ersetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens
5.Graphentheorie

Antwort: L = 17

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17

Antwort

L = 17

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 18

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 9, C: 10
B (9): D: 19, E: 21
C (10): E: 15
E (15): D: 16, F: 18
D (16)
F (18)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 18

Antwort

d(F) = 18

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