Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ein Greedy-Algorithmus:

  1. ALiefert immer die optimale Lösung
  2. BTrifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
  3. CProbiert jede mögliche Lösung aus
  4. DVerwendet ausschließlich Rekursion
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. ANP bedeutet „nicht polynomiell“
  2. BLösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
  3. CJedes Problem in P liegt auch in NP
  4. DEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert es, mit einer Adjazenzmatrix zu prüfen, ob die Kante (u, v) existiert?

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.DatenstrukturenSchwer

Die Union-Find-Struktur (Disjoint Set) mit Union by Rank und Pfadkompression hat amortisierte Kosten pro Operation von:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CGenau O(log n)
  4. DO(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
81013310131242ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl

Warum das die Antwort ist

Greedy-Algorithmen sind schnell und für manche Probleme optimal (z. B. Dijkstra, Huffman-Codierung), aber nicht im Allgemeinen (z. B. Wechselgeldproblem bei manchen Münzsystemen).

Antwort

B · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

C · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(1)

Warum das die Antwort ist

Der Matrixeintrag in Zeile u, Spalte v zeigt sofort, ob die Kante existiert; eine Adjazenzliste muss eventuell die Nachbarn von u durchsuchen.

Antwort

A · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

Warum das die Antwort ist

Mit beiden Optimierungen benötigen Operationen amortisiert O(α(n)) Zeit; α(n) ≤ 4 für jedes realistische n.

Antwort

D · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 24

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 8, C: 10
B (8): D: 11, G: 12
C (10)
D (11): E: 21, F: 24
G (12)
E (21)
F (24)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 24

Antwort

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms