Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n log n)
3.DatenstrukturenMittel

Wie findest du den kleinsten Schlüssel in einem binären Suchbaum?

  1. AJedes Blatt besuchen und vergleichen
  2. BVon der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
  3. CVon der Wurzel aus den rechten Kindern folgen, bis es kein rechtes Kind mehr gibt
  4. DNur die Wurzel ansehen
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch ist unter der Annahme des einfachen gleichverteilten Hashings die erwartete Suchzeit in einer Hashtabelle mit Chaining, n Schlüsseln und m Buckets?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(m)
  4. DO(1 + α), wobei α = n / m
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 16 Knoten und 21 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 16|E| = 21
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Das Problem halbiert sich bei jedem Schritt mit konstantem Aufwand pro Schritt, also gibt es etwa log₂ n Schritte.

Antwort

C · O(log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Θ(n log² n)

Warum das die Antwort ist

Ebene k leistet etwa n log(n / 2ᵏ) Arbeit, und die Summe über log n Ebenen ergibt Θ(n log² n), den erweiterten zweiten Fall des Master-Theorems.

Antwort

C · Θ(n log² n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt

Warum das die Antwort ist

Zum linkesten Knoten gibt es keinen kleineren Schlüssel im Baum, also ist er das Minimum; die Kosten sind proportional zur Höhe.

Antwort

B · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.Datenstrukturen

Antwort: D · O(1 + α), wobei α = n / m

Warum das die Antwort ist

Das Berechnen des Hashs kostet O(1), und die erwartete Kettenlänge ist α; hält man α durch Vergrößern beschränkt, ergibt sich eine erwartete Zeit von O(1).

Antwort

D · O(1 + α), wobei α = n / m
5.Graphentheorie

Antwort: k = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

16 − 1 = 15

Zu entfernende Kanten

k = 21 − 15 = 6

Antwort

k = 6
6.Graphentheorie

Antwort: N = 4

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Antwort

N = 4

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