Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
  2. BNur zufällige Eingaben
  3. CEine einzige Schleife
  4. DÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie erkennt der Bellman-Ford-Algorithmus einen vom Startknoten erreichbaren Kreis mit negativem Gewicht?

  1. ANach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt
  2. BEr führt den Dijkstra-Algorithmus zweimal aus und vergleicht die beiden Distanzergebnisse
  3. CEr prüft, ob irgendeine Kante ein negatives Gewicht hat
  4. DEr zählt die Kreise mit einer Tiefensuche
3.DatenstrukturenMittel

Warum kann ein binärer Heap ganz ohne Zeiger in einem Array gespeichert werden?

  1. AArrays halten Schlüssel automatisch sortiert, sodass keine Zeiger nötig sind
  2. BEr ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
  3. CHeaps enthalten nie mehr als 100 Elemente
  4. DAlle Schlüssel in einem Heap sind gleich
4.DatenstrukturenSchwer

Warum werden B-Bäume in Datenbanken und Dateisystemen verwendet?

  1. ASie speichern Daten unsortiert
  2. BSie benötigen keine Rebalancierung
  3. CIhr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
  4. DSie benötigen weniger Speicher als jedes Array, sodass der gesamte Index immer in den Hauptspeicher passt
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 3 beginnen und enden bei D? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt

Warum das die Antwort ist

Alle echten kürzesten Distanzen sind nach V − 1 Runden gefunden; lässt sich eine Kante noch verbessern, muss ein negativer Kreis existieren.

Antwort

A · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln

Warum das die Antwort ist

Vollständigkeit bedeutet, dass es keine Lücken gibt, daher liegen die Kinder von Index i immer bei 2i + 1 und 2i + 2.

Antwort

B · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe

Warum das die Antwort ist

B-Bäume speichern viele Schlüssel pro Knoten, daher ist die Höhe gering und pro Suche sind nur wenige Blockzugriffe nötig; B+-Bäume verketten zusätzlich die Blätter für Bereichsabfragen.

Antwort

C · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)DD = 0·0 + 0·1 + 2·0 + 3·0 + 1·1 + 1·1 = 2

Antwort

N = 2

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