Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wechseln viele Sortierroutinen in Bibliotheken bei sehr kleinen Teilarrays zu Insertionsort?

  1. AInsertionsort braucht bei großen Eingaben weniger Speicher als jeder andere Sortieralgorithmus
  2. BInsertionsort ist im Worst Case O(n log n)
  3. CInsertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
  4. DRekursive Algorithmen können Arrays mit weniger als 10 Elementen nicht verarbeiten
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Der Strassen-Algorithmus multipliziert Matrizen mit 7 statt 8 rekursiven Multiplikationen von Blöcken halber Größe. Welche Laufzeit hat er?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(nlog₂ 7), etwa n2,81
3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

  1. AEr speichert die Anzahl der Elemente
  2. BEr hält die Liste sortiert
  3. CUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst
  4. DEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Bloom-Filter kann die Frage „Ist dieses Element in der Menge?“ beantworten mit:

  1. AImmer exakten Antworten
  2. BAntworten nur für Zahlen
  3. CMöglichen falsch-negativen, aber keinen falsch-positiven Ergebnissen
  4. DMöglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
13101484178ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell

Warum das die Antwort ist

Für kleine n schlägt die einfache Schleife von Insertionsort den Rekursions-Overhead von Quicksort oder Mergesort, obwohl sie O(n²) ist.

Antwort

C · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Θ(nlog₂ 7), etwa n2,81

Warum das die Antwort ist

Mit a = 7 und b = 2 dominiert nlog₂ 7 den O(n²)-Additionsaufwand, das ergibt etwa n2,81.

Antwort

D · Θ(nlog₂ 7), etwa n2,81
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

D · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen

Warum das die Antwort ist

Ist eines der Bits für ein Element 0, fehlt es definitiv; sind alle 1, ist es wahrscheinlich vorhanden. Bloom-Filter tauschen Genauigkeit gegen sehr wenig Speicher.

Antwort

D · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
5.Graphentheorie

Antwort: L = 21

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 37 = 2(L + 9) − 2
L = 21

Antwort

L = 21

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): C: 13
2. C (13): B: 23, E: 21
3. E (21): D: 25, F: 28
4. B (23)
5. D (25): F: 26
6. F (26)

Runde 5

D

Antwort

D

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