Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wechseln viele Sortierroutinen in Bibliotheken bei sehr kleinen Teilarrays zu Insertionsort?

  1. AInsertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
  2. BInsertionsort ist im Worst Case O(n log n)
  3. CRekursive Algorithmen können Arrays mit weniger als 10 Elementen nicht verarbeiten
  4. DInsertionsort braucht bei großen Eingaben weniger Speicher als jeder andere Sortieralgorithmus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  2. BSchleifen vermieden werden sollten
  3. CKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  4. DJedes Programm irgendwann anhält
3.DatenstrukturenMittel

Wie funktioniert extract-min in einem binären Min-Heap?

  1. AAlle Blätter nach dem neuen Minimum durchsuchen
  2. BDas letzte Element des Arrays entfernen
  3. CDie Wurzel entfernen und alle Elemente um eine Stelle nach links verschieben
  4. DDas letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
4.DatenstrukturenSchwer

Du willst für jedes Element eines Arrays das nächstgrößere Element rechts davon finden, insgesamt in O(n). Welche Struktur hilft?

  1. AEin binärer Suchbaum, der für jedes Element neu aufgebaut wird
  2. BEine Queue, die jedes Elementpaar enthält
  3. CEin Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
  4. DEine Hashtabelle aller Elemente
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
8111612512ABCDE

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell

Warum das die Antwort ist

Für kleine n schlägt die einfache Schleife von Insertionsort den Rekursions-Overhead von Quicksort oder Mergesort, obwohl sie O(n²) ist.

Antwort

A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen

Warum das die Antwort ist

Das letzte Element füllt die Lücke in der Wurzel und wird mit seinem kleineren Kind vertauscht, bis die Heap-Eigenschaft gilt; das kostet O(log n).

Antwort

D · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten

Warum das die Antwort ist

Beim Durchlauf von links nach rechts entnimmst du jedes gestapelte Element, das kleiner als das aktuelle ist (das aktuelle Element ist seine Antwort), und legst dann das aktuelle ab; jedes Element bewegt sich höchstens zweimal.

Antwort

C · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

C, D → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante BE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. DE (1)
2. BE (2)
3. CE (5)
4. AB (8)

Kantennummer 2

BE

Antwort

Kante BE

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