Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Tasse Kaffee mit 82 °C steht in einem Raum mit 24 °C. Nach 23 min beträgt die Temperatur 33 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 82 °CT_a = 24 °CT(23) = 33 °C

k = min⁻¹

2.DifferentialgleichungenSchwer

Ein Behälter enthält 400 L Wasser, in dem 5 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 10 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 65 min im Behälter?

V = 400 Lm₀ = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀² x·sin x dx (x im Bogenmaß).

∫₀² x·sin x dx

I =

4.IntegraleSchwer

Berechne I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = ln(x² + 5). Bestimme f′(1).

f(x) = ln(x² + 5)x = 1

f′(1) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ + 3x² − 9x + 5. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x³ + 3x² − 9x + 5

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀¹ √(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 4 Streifen an. Gib S an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 4

S =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = 0,5, um y₂ ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1

y₂ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: k = 0,08101 min⁻¹

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Verhältnis der Temperaturdifferenzen

e^−23k = 9/58

Nach k auflösen

k = ln(58/9)/23 = 0,08101 min⁻¹

Antwort

k = 0,08101 min⁻¹

2.Differentialgleichungen

Antwort: m = 65,23 kg

Die Gleichung aufstellen

dm/dt = 10·0,2 − (10/400)·m = 2 − 0,025·m

Lösen

Der integrierende Faktor ist e^rt/V; die Lösung nähert sich dem Gleichgewicht c·V.

m(t) = 80 + (−75)·e^−t/40

t einsetzen

m(65) = 80 + (−75)·0,1969 = 65,23 kg

Antwort

m = 65,23 kg

3.Integrale

Antwort: I = 1,742

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Stammfunktion

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Grenzwerte

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Antwort

I = 1,742

4.Integrale

Antwort: I = 12,78

Erste Runde

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Zweite Runde

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Grenzwerte

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Antwort

I = 12,78

5.Ableitungen

Antwort: f′(1) = 0,3333

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel für den Logarithmus

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Einsetzen

f′(1) = 2/6 = 0,3333

Antwort

f′(1) = 0,3333

6.Ableitungen

Antwort: x = 1

Ableitung

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

f′(x) = 0 lösen

x = −3 oder x = 1

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 6: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = 1

Antwort

x = 1

7.Numerische Verfahren

Antwort: S = 1,111

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,007782 + 2·1,06066 + 4·1,192424 + 1,414214 = 13,336359

Simpson-Regel

S = (0,25/3)·13,336359 = 1,111

Antwort

S = 1,111

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₂ = 0,589

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Heun-Schritte

y₁ = 0,5 + (0,1/2)(0,5 + 0,445004) = 0,54725

y₂ = 0,54725 + (0,1/2)(0,447754 + 0,388041) = 0,58904

Diagramm

y₂ = 0,589

Antwort

y₂ = 0,589

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations