Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Getränkedose mit 3 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 26 °C gebracht. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,09 min⁻¹ die Temperatur T nach 15 min.

T₀ = 3 °CT_a = 26 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 15 min

T = °C

2.DifferentialgleichungenSchwer

Löse y′ + 2y = 7e^−t mit y(0) = 0. Bestimme y(0,5).

y′ + 2y = 7e^−ty(0) = 0

y(0.5) =

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.IntegraleSchwer

Das Gebiet zwischen der Geraden y = 3x und der Parabel y = 3x² wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers.

y = 3xy = 3x²

V =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = (3x + 5)⁴. Bestimme f′(−1).

f(x) = (3x + 5)⁴x = −1

f′(−1) =

6.AbleitungenSchwer

Die Tangente an f(x) = 2x² + 2 bei x = 2 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.

f(x) = 2x² + 2x = 2

b =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀^1,5 sin(x²) dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 3

T =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Löse y′ = y − t², y(0) = −1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,5. Die exakte Lösung ist y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,5) − y₅|.

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,1

|E| =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: T = 20,04 °C

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Lösung des Abkühlungsgesetzes

T(t) = 26 + (−23)·e^−0,09t

t einsetzen

T(15) = 26 + (−23)·0,2592 = 20,04 °C

Antwort

T = 20,04 °C

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(0.5) = 1,671

Integrierender Faktor

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 7e^t

Allgemeine Lösung

y = 7/1·e^−t + C·e^−2t = 7·e^−t + C·e^−2t

Anfangsbedingung

0 = 7 + C → C = −7

Auswerten

y(0,5) = 7·0,6065 + (−7)·0,3679 = 1,671

Antwort

y(0,5) = 1,671

3.Integrale

Antwort: I = 41,33

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Substitution

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Integrieren und auswerten

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Antwort

I = 41,33

4.Integrale

Antwort: V = 3,77

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Schnittpunkte

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Ringmethode

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

Integrieren

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Antwort

V = 3,77

5.Ableitungen

Antwort: f′(−1) = 96

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel

f′(x) = 4·(3x + 5)³·3

Einsetzen

f′(−1) = 4·2³·3 = 96

Antwort

f′(−1) = 96

6.Ableitungen

Antwort: b = −6

Punkt und Steigung

f(2) = 10

f′(x) = 4x → f′(2) = 8

Tangente bei x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 8·2 = −6

Antwort

b = −6

7.Numerische Verfahren

Antwort: T = 0,739

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,247404 + 2·0,841471 + 0,778073 = 2,955823

Trapezregel

T = (0,5/2)·2,955823 = 0,739

Antwort

T = 0,739

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

8.Numerische Verfahren

Antwort: |E| = 0,05358

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₅ = −1,642581

Exakter Wert

y(0,5) = −1,696164

Globaler Fehler

|E| = |−1,696164 + 1,642581| = 0,05358

Diagramm

Antwort

|E| = 0,05358

Eine Halbierung von h halbiert den Fehler des Euler-Verfahrens ungefähr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations