Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Löse y″ + 8y′ + 16y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 2. Bestimme y(0,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(0.5) =

2.DifferentialgleichungenSchwer

Ein System gehorcht y″ + y′ + 9,25y = 18,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.

y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀² e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 2]

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 1 − x² und der x-Achse.

y = 1 − x²

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = ln(x² + 2). Bestimme f′(3).

f(x) = ln(x² + 2)x = 3

f′(3) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ + 3x² − 9x − 2. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 2

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀³ sin x dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 4

|E| =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1

y₁ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: y(0.5) = 2,165

Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = e^rt: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·e^rt (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 ist ω_n die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.

Doppelte Wurzel

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstanten

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 4A → B = 2 + 20 = 22

Auswerten

y(0,5) = (5 + 22·0,5)·e⁻² = 2,165

Antwort

y(0,5) = 2,165

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(1.5) = 2,353

Stationärer Wert und Wurzeln

y_ss = 2, r = −0,5 ± 3j

Konstanten aus den Anfangswerten

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0,5A + 3B = 0 → B = −0,3333

Auswerten

y(1,5) = 2·(1 − e^−0,75(cos 4,5 + 0,1667·sin 4,5)) = 2,353

Antwort

y(1,5) = 2,353

3.Integrale

Antwort: I = 3,437

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Stammfunktion

F(x) = e^0,5x/0,5

An den Grenzen auswerten

I = (e¹ − 1)/0,5 = (2,718 − 1)/0,5 = 3,437

Antwort

I = 3,437

4.Integrale

Antwort: A = 1,333

Nullstellen

1 − x² = 0 → x = ±1

Integrieren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwort

A = 1,333

5.Ableitungen

Antwort: f′(3) = 0,5455

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel für den Logarithmus

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Einsetzen

f′(3) = 6/11 = 0,5455

Antwort

f′(3) = 0,5455

6.Ableitungen

Antwort: x = 1

Ableitung

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

f′(x) = 0 lösen

x = −3 oder x = 1

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 6: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = 1

Antwort

x = 1

7.Numerische Verfahren

Antwort: |E| = 0,09417

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Exakter Wert

I = 1,989992

Trapezregel

T = (0,75/2)·(0 + 2·0,681639 + 2·0,997495 + 2·0,778073 + 0,14112) = 1,895825

Fehler

|E| = |1,895825 − 1,989992| = 0,09417

Antwort

|E| = 0,09417

Relativer Fehler: 4,732 %.

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₁ = 0,6028

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Vier Steigungen

k₁ = f(0, 0,5) = 1

k₂ = f(0,05, 0,55) = 1,027497

k₃ = f(0,05, 0,551375) = 1,027565

k₄ = f(0,1, 0,602757) = 1,060239

Zusammenfassen

y₁ = 0,5 + (0,1/6)(1 + 2·1,027497 + 2·1,027565 + 1,060239) = 0,6028

Antwort

y₁ = 0,6028

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