Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Löse y″ + 7y′ + 10y = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = 0. Bestimme y(2).

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(2) =

2.DifferentialgleichungenSchwer

Löse y″ + 2y′ + 10y = 0 mit y(0) = 10 und y′(0) = 0 (aus der Ruhe losgelassen). Bestimme y(0,5); Winkel im Bogenmaß.

y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(0.5) =

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₁⁴ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 4]

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A des Gebiets, das von y = 0,5x² und y = 2x eingeschlossen wird.

y = 0,5x²y = 2x

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x·sin(2x), mit x im Bogenmaß. Bestimme f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ + 9x² + 24x + 6. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.

f(x) = x³ + 9x² + 24x + 6

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Die Trapezregel wird für ∫₁² 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, um y₂ ≈ y(1) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5

y₂ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: y(2) = 0,0305

Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = e^rt: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·e^rt (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 ist ω_n die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.

Charakteristische Wurzeln

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

Konstanten aus den Anfangswerten

A + B = 1, −2A − 5B = 0

A = 1,667, B = −0,6667

Auswerten

y(2) = 1,667·e⁻⁴ + (−0,6667)·e⁻¹⁰ = 0,0305

Antwort

y(2) = 0,0305

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(0.5) = 2,446

Komplexe Wurzeln

r = −1 ± 3j

Konstanten

A = 10, B = 1·10/3 = 3,333

Auswerten

y(0,5) = e^−0,5(10·cos 1,5 + 3,333·sin 1,5) = 2,446

Antwort

y(0,5) = 2,446

3.Integrale

Antwort: I = 2,773

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Stammfunktion

F(x) = 2·ln x

An den Grenzen auswerten

I = 2·(ln 4 − ln 1) = 2·ln 4 = 2,773

Antwort

I = 2,773

4.Integrale

Antwort: A = 5,333

Schnittpunkte

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Obere minus untere integrieren

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Antwort

A = 5,333

5.Ableitungen

Antwort: f′(0.5) = 1,382

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produkt- und Kettenregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Einsetzen

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Antwort

f′(0,5) = 1,382

6.Ableitungen

Antwort: x = −4

Ableitung

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

f′(x) = 0 lösen

x = −4 oder x = −2

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 18: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −4

Antwort

x = −4

7.Numerische Verfahren

Antwort: n = 130

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Schranke für die zweite Ableitung

M = 2/1³ = 2

Nach n auflösen

n² > 1·2/(12·1 × 10⁻⁵) = 16667

n > 129,1 → n = 130

Antwort

n = 130

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₂ = 2,497

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Heun-Schritte

y₁ = 1 + (0,5/2)(1 + 1,681639) = 1,67041

y₂ = 1,67041 + (0,5/2)(1,741434 + 1,565027) = 2,497025

Diagramm

y₂ = 2,497

Antwort

y₂ = 2,497

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