Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Ein geschmiedetes Stahlteil mit 420 °C kühlt in einer Werkstatt mit 26 °C ab. Nach 19 min beträgt die Temperatur 249 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 420 °CT_a = 26 °CT(19) = 249 °C

k = min⁻¹

2.DifferentialgleichungenSchwer

Löse das Anfangswertproblem y′ + y/x = 4x für x > 0 mit y(1) = −2. Bestimme y(3).

y′ + y/x = 4xy(1) = −2

y(3) =

3.IntegraleMittel

Das Gebiet unter y = √(4x) von x = 0 bis x = 2 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Paraboloid).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 2

V =

4.IntegraleSchwer

Das Gebiet zwischen der Geraden y = 5x und der Parabel y = 3x² wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers.

y = 5xy = 3x²

V =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x·sin(3x), mit x im Bogenmaß. Bestimme f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.AbleitungenSchwer

Die Tangente an f(x) = x² + 2x − 6 bei x = 3 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.

f(x) = x² + 2x − 6x = 3

b =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀² 1/(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 5 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 5

T =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = 3, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1

y₁ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: k = 0,02996 min⁻¹

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Verhältnis der Temperaturdifferenzen

e^−19k = 223/394

Nach k auflösen

k = ln(394/223)/19 = 0,02996 min⁻¹

Antwort

k = 0,02996 min⁻¹

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(3) = 10,89

Integrierender Faktor

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integrieren

(x¹y)′ = 4x² → x¹y = 4x³/3 + C

Anfangsbedingung

−2 = 4/3 + C → C = −3,333

Auswerten

y(3) = (4·3³/3 + (−3,333))/3¹ = 10,89

Antwort

y(3) = 10,89

3.Integrale

Antwort: V = 25,13

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Scheibenmethode

V = π∫₀² 4x dx

Integrieren

V = π·4·2²/2 = 25,13

Antwort

V = 25,13

4.Integrale

Antwort: V = 48,48

Schnittpunkte

5x = 3x² → x = 0, x = 1,667

Ringmethode

V = π∫₀^1,667 ((5x)² − (3x²)²) dx

Integrieren

V = π(25·1,667³/3 − 9·1,667⁵/5) = π·15,43 = 48,48

Antwort

V = 48,48

5.Ableitungen

Antwort: f′(1.5) = −1,926

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produkt- und Kettenregel

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Einsetzen

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Antwort

f′(1,5) = −1,926

6.Ableitungen

Antwort: b = −15

Punkt und Steigung

f(3) = 9

f′(x) = 2x + 2 → f′(3) = 8

Tangente bei x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − 8·3 = −15

Antwort

b = −15

7.Numerische Verfahren

Antwort: T = 1,088

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,4

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,93985 + 2·0,661376 + 2·0,366569 + 2·0,196232 + 0,111111 = 5,439164

Trapezregel

T = (0,4/2)·5,439164 = 1,088

Antwort

T = 1,088

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₁ = 2,81

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Vier Steigungen

k₁ = f(0, 3) = −2

k₂ = f(0,05, 2,9) = −1,90125

k₃ = f(0,05, 2,904938) = −1,906187

k₄ = f(0,1, 2,809381) = −1,814377

Zusammenfassen

y₁ = 3 + (0,1/6)(−2 + 2·−1,90125 + 2·−1,906187 − 1,814377) = 2,81

Antwort

y₁ = 2,81

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