Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Getränkedose mit 5 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 22 °C gebracht. Nach 12 min beträgt die Temperatur 17 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 5 °CT_a = 22 °CT(12) = 17 °C

k = min⁻¹

2.DifferentialgleichungenSchwer

Löse y′ + 2y = 4e^−0,5t mit y(0) = 4. Bestimme y(1).

y′ + 2y = 4e^−0,5ty(0) = 4

y(1) =

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x im Bogenmaß).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 4 − x² und der x-Achse.

y = 4 − x²

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x·sin(2x), mit x im Bogenmaß. Bestimme f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ + 4,5x² + 6x − 5. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.

f(x) = x³ + 4,5x² + 6x − 5

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₁³ 1/x dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 4

|E| =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = 2y, y(0) = 0,5, um y₅ ≈ y(2,5) zu schätzen.

y′ = 2yy(0) = 0,5h = 0,5

y₅ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: k = 0,102 min⁻¹

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Verhältnis der Temperaturdifferenzen

e^−12k = -5/-17

Nach k auflösen

k = ln(-17/-5)/12 = 0,102 min⁻¹

Antwort

k = 0,102 min⁻¹

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(1) = 1,798

Integrierender Faktor

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 4e^1,5t

Allgemeine Lösung

y = 4/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 2,667·e^−0,5t + C·e^−2t

Anfangsbedingung

4 = 2,667 + C → C = 1,333

Auswerten

y(1) = 2,667·0,6065 + 1,333·0,1353 = 1,798

Antwort

y(1) = 1,798

3.Integrale

Antwort: I = 0,3424

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Stammfunktion

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Grenzwerte

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Antwort

I = 0,3424

4.Integrale

Antwort: A = 10,67

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Nullstellen

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrieren

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Antwort

A = 10,67

5.Ableitungen

Antwort: f′(2) = −3,371

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produkt- und Kettenregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Einsetzen

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Antwort

f′(2) = −3,371

6.Ableitungen

Antwort: x = −2

Ableitung

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

f′(x) = 0 lösen

x = −2 oder x = −1

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 9: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −2

Antwort

x = −2

7.Numerische Verfahren

Antwort: |E| = 0,01805

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Exakter Wert

I = 1,098612

Trapezregel

T = (0,5/2)·(1 + 2·0,666667 + 2·0,5 + 2·0,4 + 0,333333) = 1,116667

Fehler

|E| = |1,116667 − 1,098612| = 0,01805

Antwort

|E| = 0,01805

Relativer Fehler: 1,643 %.

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₅ = 16

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₁ = 0,5 + 0,5·(1) = 1

y₂ = 1 + 0,5·(2) = 2

y₃ = 2 + 0,5·(4) = 4

y₄ = 4 + 0,5·(8) = 8

y₅ = 8 + 0,5·(16) = 16

Diagramm

y₅ = 16

Antwort

y₅ = 16

Der exakte Wert ist y(2,5) = 74,20658.

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