Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Löse y″ + 6y′ + 9y = 0 mit y(0) = 2 und y′(0) = 4. Bestimme y(1).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(1) =

2.DifferentialgleichungenSchwer

Ein System gehorcht y″ + 2y′ + 26y = 130 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert y_max seiner Sprungantwort.

y″ + 2y′ + 26y = 130y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 1 − x² und der x-Achse.

y = 1 − x²

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = ln(3x² + 4). Bestimme f′(3).

f(x) = ln(3x² + 4)x = 3

f′(3) =

6.AbleitungenSchwer

Die Tangente an f(x) = 0,5x² + x + 3 bei x = 3 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.

f(x) = 0,5x² + x + 3x = 3

b =

7.Numerische VerfahrenMittel

Die Trapezregel wird für ∫₀² sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005

n =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Löse y′ = y − t², y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 0,6. Die exakte Lösung ist y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,6) − y₃|.

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,2

|E| =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: y(1) = 0,5974

Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = e^rt: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·e^rt (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 ist ω_n die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.

Doppelte Wurzel

(r + 3)² = 0 → r = −3

Konstanten

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = 4 + 6 = 10

Auswerten

y(1) = (2 + 10·1)·e⁻³ = 0,5974

Antwort

y(1) = 0,5974

2.Differentialgleichungen

Antwort: y_max = 7,667

Stationärer Wert und Wurzeln

y_ss = 5, r = −1 ± 5j

Konstanten aus den Anfangswerten

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −1

Spitzenwert

t = π/5 = 0,6283

y_max = 5·(1 + e^−1·π/5) = 7,667

Antwort

y_max = 7,667

3.Integrale

Antwort: I = 1,5

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Substitution

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integrieren und auswerten

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Antwort

I = 1,5

4.Integrale

Antwort: A = 1,333

Nullstellen

1 − x² = 0 → x = ±1

Integrieren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwort

A = 1,333

5.Ableitungen

Antwort: f′(3) = 0,5806

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel für den Logarithmus

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Einsetzen

f′(3) = 18/31 = 0,5806

Antwort

f′(3) = 0,5806

6.Ableitungen

Antwort: b = −1,5

Punkt und Steigung

f(3) = 10,5

f′(x) = x + 1 → f′(3) = 4

Tangente bei x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10,5 − 4·3 = −1,5

Antwort

b = −1,5

7.Numerische Verfahren

Antwort: n = 37

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Schranke für die zweite Ableitung

M = |sin(π/2)| = 1

Nach n auflösen

n² > 8·1/(12·0,0005) = 1333

n > 36,51 → n = 37

Antwort

n = 37

8.Numerische Verfahren

Antwort: |E| = 0,2397

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₃ = 5,1424

Exakter Wert

y(0,6) = 5,382119

Globaler Fehler

|E| = |5,382119 − 5,1424| = 0,2397

Diagramm

Antwort

|E| = 0,2397

Eine Halbierung von h halbiert den Fehler des Euler-Verfahrens ungefähr.

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