Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Getränkedose mit 4 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 27 °C gebracht. Nach 26 min beträgt die Temperatur 23 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 17 °C erreicht sind?

T₀ = 4 °CT_a = 27 °CT(26) = 23 °CT = 17 °C

t = min

2.DifferentialgleichungenSchwer

Löse das Anfangswertproblem y′ + 2y/x = 6 für x > 0 mit y(1) = 2. Bestimme y(2).

y′ + 2y/x = 6y(1) = 2

y(2) =

3.IntegraleMittel

Das Gebiet unter y = 2x von x = 0 bis x = 2 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Kegel).

y = 2x0 ≤ x ≤ 2

V =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A des Gebiets, das von y = 0,5x² und y = 4x eingeschlossen wird.

y = 0,5x²y = 4x

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = (2x − 3)³. Bestimme f′(−1).

f(x) = (2x − 3)³x = −1

f′(−1) =

6.AbleitungenSchwer

Die Tangente an f(x) = −x² + 5x − 3 bei x = 2 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.

f(x) = −x² + 5x − 3x = 2

b =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀² 1/(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 4 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 4

S =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Löse y′ = 0,5y, y(0) = −1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2. Die exakte Lösung ist y = y₀e^0,5t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2) − y₄|.

y′ = 0,5yy(0) = −1h = 0,5

|E| =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: t = 12,38 min

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Abkühlungskonstante

k = ln(-23/-4)/26 = 0,06728 min⁻¹

Zeit bis zum Zielwert

t = ln(-23/(−10))/0,06728 = 12,38 min

Antwort

t = 12,38 min

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(2) = 4

Integrierender Faktor

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integrieren

(x²y)′ = 6x² → x²y = 6x³/3 + C

Anfangsbedingung

2 = 6/3 + C → C = 0

Auswerten

y(2) = (6·2³/3 + 0)/2² = 4

Antwort

y(2) = 4

3.Integrale

Antwort: V = 33,51

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Scheibenmethode

V = π∫₀² 4x² dx

Integrieren

V = π·4·2³/3 = 33,51

Antwort

V = 33,51

Kontrolle: Ein Kegel mit dem Radius 4 und der Höhe 2 hat (1/3)πr²h = 33,51.

4.Integrale

Antwort: A = 42,67

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Schnittpunkte

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Obere minus untere integrieren

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Antwort

A = 42,67

5.Ableitungen

Antwort: f′(−1) = 150

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel

f′(x) = 3·(2x − 3)²·2

Einsetzen

f′(−1) = 3·(−5)²·2 = 150

Antwort

f′(−1) = 150

6.Ableitungen

Antwort: b = 1

Punkt und Steigung

f(2) = 3

f′(x) = −2x + 5 → f′(2) = 1

Tangente bei x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − 1·2 = 1

Antwort

b = 1

7.Numerische Verfahren

Antwort: S = 1,097

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,888889 + 2·0,5 + 4·0,228571 + 0,111111 = 6,580952

Simpson-Regel

S = (0,5/3)·6,580952 = 1,097

Antwort

S = 1,097

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

8.Numerische Verfahren

Antwort: |E| = 0,2769

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₄ = −2,441406

Exakter Wert

y(2) = −2,718282

Globaler Fehler

|E| = |−2,718282 + 2,441406| = 0,2769

Diagramm

Antwort

|E| = 0,2769

Eine Halbierung von h halbiert den Fehler des Euler-Verfahrens ungefähr.

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