Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Tasse Kaffee mit 84 °C steht in einem Raum mit 24 °C. Nach 27 min beträgt die Temperatur 40 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 58 °C erreicht sind?

T₀ = 84 °CT_a = 24 °CT(27) = 40 °CT = 58 °C

t = min

2.DifferentialgleichungenSchwer

Ein Behälter enthält 500 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,05 kg Salz pro Liter fließt mit 5 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 20 kg Salz?

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 9 − x² und der x-Achse.

y = 9 − x²

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x²·e^x. Bestimme f′(0,5).

f(x) = x²·e^xx = 0,5

f′(0.5) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 4. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 4

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀² 1/√(1 + x⁴) dx mit der Simpson-Regel mit n = 4 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 4

S =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,1 für y′ = t − y, y(0) = 1, um y₃ ≈ y(0,3) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 1h = 0,1

y₃ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: t = 11,6 min

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Abkühlungskonstante

k = ln(60/16)/27 = 0,04895 min⁻¹

Zeit bis zum Zielwert

t = ln(60/34)/0,04895 = 11,6 min

Antwort

t = 11,6 min

2.Differentialgleichungen

Antwort: t = 160,9 min

Ergebnis

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/100

Nach t auflösen

e^−t/100 = (25 − 20)/(25 − 0) = 0,2

t = 100·ln(5) = 160,9 min

Antwort

t = 160,9 min

3.Integrale

Antwort: I = 1,5

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Substitution

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integrieren und auswerten

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Antwort

I = 1,5

4.Integrale

Antwort: A = 36

Nullstellen

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrieren

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Antwort

A = 36

5.Ableitungen

Antwort: f′(0.5) = 2,061

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

Einsetzen

f′(0,5) = 1,649·(1 + 0,25) = 2,061

Antwort

f′(0,5) = 2,061

6.Ableitungen

Antwort: x = 4

Ableitung

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

f′(x) = 0 lösen

x = 1 oder x = 4

Welches ist welches

f″(x) = 6x − 15: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

Antwort

x = 4

7.Numerische Verfahren

Antwort: S = 1,36

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,970143 + 2·0,707107 + 4·0,406138 + 0,242536 = 8,161873

Simpson-Regel

S = (0,5/3)·8,161873 = 1,36

Antwort

S = 1,36

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₃ = 0,758

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₁ = 1 + 0,1·(−1) = 0,9

y₂ = 0,9 + 0,1·(−0,8) = 0,82

y₃ = 0,82 + 0,1·(−0,62) = 0,758

Diagramm

y₃ = 0,758

Antwort

y₃ = 0,758

Der exakte Wert ist y(0,3) = 0,781636.

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