Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Tasse Kaffee mit 87 °C steht in einem Raum mit 20 °C. Nach 26 min beträgt die Temperatur 38 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 87 °CT_a = 20 °CT(26) = 38 °C

k = min⁻¹

2.DifferentialgleichungenSchwer

Löse das Anfangswertproblem y′ + y/x = 3x für x > 0 mit y(1) = 5. Bestimme y(3).

y′ + y/x = 3xy(1) = 5

y(3) =

3.IntegraleMittel

Das Gebiet unter y = √(4x) von x = 0 bis x = 3 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Paraboloid).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 3

V =

4.IntegraleSchwer

Das Gebiet zwischen der Geraden y = x und der Parabel y = x² wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers.

y = xy = x²

V =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x³·e^0,5x. Bestimme f′(1,5).

f(x) = x³·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.AbleitungenSchwer

Die Tangente an f(x) = −x² − 2x + 5 bei x = −1 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.

f(x) = −x² − 2x + 5x = −1

b =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀² 1/√(1 + x⁴) dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 6

S =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = −0,5y, y(0) = 3, um y₂ ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = −0,5yy(0) = 3h = 0,1

y₂ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: k = 0,05055 min⁻¹

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Verhältnis der Temperaturdifferenzen

e^−26k = 18/67

Nach k auflösen

k = ln(67/18)/26 = 0,05055 min⁻¹

Antwort

k = 0,05055 min⁻¹

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(3) = 10,33

Integrierender Faktor

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integrieren

(x¹y)′ = 3x² → x¹y = 3x³/3 + C

Anfangsbedingung

5 = 3/3 + C → C = 4

Auswerten

y(3) = (3·3³/3 + 4)/3¹ = 10,33

Antwort

y(3) = 10,33

3.Integrale

Antwort: V = 56,55

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Scheibenmethode

V = π∫₀³ 4x dx

Integrieren

V = π·4·3²/2 = 56,55

Antwort

V = 56,55

4.Integrale

Antwort: V = 0,4189

Schnittpunkte

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Ringmethode

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

Integrieren

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

Antwort

V = 0,4189

5.Ableitungen

Antwort: f′(1.5) = 17,86

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(3x² + 0,5·x³)

Einsetzen

f′(1,5) = 2,117·(6,75 + 1,688) = 17,86

Antwort

f′(1,5) = 17,86

6.Ableitungen

Antwort: b = 6

Punkt und Steigung

f(−1) = 6

f′(x) = −2x − 2 → f′(−1) = 0

Tangente bei x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 0·(−1) = 6

Antwort

b = 6

7.Numerische Verfahren

Antwort: S = 1,357

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,993884 + 2·0,913812 + 4·0,707107 + 2·0,490261 + 4·0,338719 + 0,242536 = 12,209521

Simpson-Regel

S = (0,3333/3)·12,209521 = 1,357

Antwort

S = 1,357

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₂ = 2,715

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Heun-Schritte

y₁ = 3 + (0,1/2)(−1,5 − 1,425) = 2,85375

y₂ = 2,85375 + (0,1/2)(−1,426875 − 1,355531) = 2,71463

Diagramm

y₂ = 2,715

Antwort

y₂ = 2,715

Der exakte Wert ist y(0,2) = 2,714512.

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