Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Löse y″ + 7y′ + 12y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 1. Bestimme y(1,5).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(1.5) =

2.DifferentialgleichungenSchwer

Ein System gehorcht y″ + y′ + 16,25y = 162,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert y_max seiner Sprungantwort.

y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₁³ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 3]

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 9 − x² und der x-Achse.

y = 9 − x²

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x·e^0,5x. Bestimme f′(0,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ + 3x² − 9x − 3. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 3

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 5 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 20 s zurückgelegte Strecke s mit der Simpson-Regel.

h = 5 sn = 4

s = m

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = t + y, y(0) = −1, um y₃ ≈ y(0,6) zu schätzen.

y′ = t + yy(0) = −1h = 0,2

y₃ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: y(1.5) = 0,1936

Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = e^rt: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·e^rt (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 ist ω_n die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.

Charakteristische Wurzeln

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Konstanten aus den Anfangswerten

A + B = 5, −3A − 4B = 1

A = 21, B = −16

Auswerten

y(1,5) = 21·e^−4,5 + (−16)·e⁻⁶ = 0,1936

Antwort

y(1,5) = 0,1936

2.Differentialgleichungen

Antwort: y_max = 16,75

Stationärer Wert und Wurzeln

y_ss = 10, r = −0,5 ± 4j

Konstanten aus den Anfangswerten

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0,5A + 4B = 0 → B = −1,25

Spitzenwert

t = π/4 = 0,7854

y_max = 10·(1 + e^−0,5·π/4) = 16,75

Antwort

y_max = 16,75

3.Integrale

Antwort: I = 2,197

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Stammfunktion

F(x) = 2·ln x

An den Grenzen auswerten

I = 2·(ln 3 − ln 1) = 2·ln 3 = 2,197

Antwort

I = 2,197

4.Integrale

Antwort: A = 36

Nullstellen

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrieren

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Antwort

A = 36

5.Ableitungen

Antwort: f′(0.5) = 1,605

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Einsetzen

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,25) = 1,605

Antwort

f′(0,5) = 1,605

6.Ableitungen

Antwort: x = −3

Ableitung

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

f′(x) = 0 lösen

x = −3 oder x = 1

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 6: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Antwort

x = −3

7.Numerische Verfahren

Antwort: s = 148,3 m

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Gewichtete Summe

1 + 4·4 + 2·8 + 4·10 + 16 = 89

Simpson-Regel

s = (5/3)·89 = 148,3 m

Antwort

s = 148,3 m

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₃ = −1,6

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₁ = −1 + 0,2·(−1) = −1,2

y₂ = −1,2 + 0,2·(−1) = −1,4

y₃ = −1,4 + 0,2·(−1) = −1,6

Diagramm

y₃ = −1,6

Antwort

y₃ = −1,6

Der exakte Wert ist y(0,6) = −1,6.

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