Zeichne ein Venn-Diagramm und entscheide Bereich für Bereich, was zum Mengenausdruck gehört.
Fülle bei Zählaufgaben die Bereiche von der Mitte nach außen: erst alle Mengen, dann Paare, dann einzelne Mengen, dann das Äußere.
Nutze das Inklusions-Exklusions-Prinzip als Kontrolle: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Prüfe bei einer Relation jede Eigenschaft an jedem Paar und gib ein Gegenbeispiel an, wenn sie nicht gilt.
Zähle bei einer Funktion die Pfeile, die bei jedem Element von B ankommen: höchstens einer heißt injektiv, mindestens einer surjektiv.
Graphentheorie
Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij
Methode
Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).
Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Division mit Rest
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Lineare Kongruenz
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Eulersche φ-Funktion
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Methode
Reduziere zuerst jede Zahl modulo n; die Reste liegen zwischen 0 und n − 1.
Teile für einen ggT wiederholt mit dem euklidischen Algorithmus; der letzte Rest ungleich null ist der ggT.
Führe für ein Inverses den erweiterten Algorithmus aus und behalte den Koeffizienten von a; addiere n, falls er negativ ist.
Löse a·x ≡ b, indem du mit a⁻¹ multiplizierst; kombiniere zwei Kongruenzen, indem du x = r₁ + m₁k schreibst.
Schreibe bei Potenzen den Exponenten binär und quadriere wiederholt; bei RSA gilt d = e⁻¹ mod φ(n) mit φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Übungsaufgaben
1.Aussagenlogik & BeweiseMittel
Du willst (r ∨ q) → p durch Kontraposition beweisen. Welche Implikation beweist du stattdessen? Klicke sie an.
(r ∨ q) → p
1(r ∨ q) ∧ ¬p
2p → (r ∨ q)
3¬(r ∨ q) → ¬p
4¬p → ¬(r ∨ q)
2.Aussagenlogik & BeweiseSchwer
Die Prämissen r → q; r sind gegeben. Welche Konklusion folgt daraus? Klicke sie an.
r → qr
1¬q
2q
3r ∧ ¬q
4¬r
3.Mengen, Relationen & FunktionenMittel
Die Relation R auf {1, 2, 3, 4} ist als gerichteter Graph gezeichnet (eine Schleife bedeutet (x, x) ∈ R). Genau eine der vier Eigenschaften gilt. Klicke sie an.
Eine Äquivalenzrelation R auf {1, …, 9} hat die Klassen {6, 7, 9}, {1}, {2, 3, 4, 8}, {5}. Wie viele geordnete Paare enthält R? Nenne die Zahl |R|.
{6, 7, 9}{1}{2, 3, 4, 8}{5}
|R| =
5.GraphentheorieMittel
Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?
3 × deg 44 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei D? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.
M = AdjazenzmatrixL = 2
N =
7.Zahlentheorie & modulare ArithmetikMittel
Bestimme das Inverse von 33 modulo 61: die Zahl x mit 0 < x < 61 und 33·x ≡ 1 (mod 61).
a = 33n = 61
33−1 mod 61 =
8.Zahlentheorie & modulare ArithmetikSchwer
Bestimme 27165 mod 41 durch wiederholtes Quadrieren.
a = 27k = 165n = 41
27165 mod 41 =
3Lösungen
1.Aussagenlogik & Beweise
Antwort: ¬p → ¬(r ∨ q)
Logische Äquivalenz: Zwei Formeln sind äquivalent (≡), wenn sie in jeder Zeile der Wahrheitstafel denselben Wert haben. Eine Tautologie ist in jeder Zeile 1, eine Kontradiktion in jeder Zeile 0, und eine Kontingenz ist keines von beiden. Nützliche Gesetze: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b und ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (Kontraposition); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; und die Distributivgesetze, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Teile der Implikation
a = r ∨ q, b = p
Kontraposition
¬b → ¬a = ¬p → ¬(r ∨ q)
Antwort
¬p → ¬(r ∨ q)
Die Kontraposition ist äquivalent zur ursprünglichen Aussage, ihr Beweis beweist also die Aussage.
2.Aussagenlogik & Beweise
Antwort: q
Quantoren und Argumente: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) und ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Ziehe eine Negation nach innen, vertausche jeden Quantor, den sie passiert, und negiere die innere Formel mit den aussagenlogischen Gesetzen, etwa ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion in jeder Zeile 1 ist, in der alle Prämissen 1 sind. Eine einzige Zeile mit wahren Prämissen und falscher Konklusion ist ein Gegenbeispiel und zeigt, dass das Argument ungültig ist.
Zeilen, in denen alle Prämissen wahr sind
q = 1, r = 1: ¬q = 0, q = 1, r ∧ ¬q = 0, ¬r = 0
Schlussfolgerung
q (Modus ponens)
Antwort
q
3.Mengen, Relationen & Funktionen
Antwort: transitiv
Relationen: Eine Relation R auf einer Menge X ist eine Menge geordneter Paare (x, y). R ist reflexiv, wenn (x, x) ∈ R für jedes x in X; symmetrisch, wenn zu (x, y) ∈ R immer (y, x) ∈ R gehört; antisymmetrisch, wenn (x, y) und (y, x) nur dann beide in R liegen, wenn x = y; und transitiv, wenn (x, y) und (y, z) in R (x, z) ∈ R erzwingen. Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv und zerlegt X in disjunkte Klassen.
reflexiv
gilt nicht: (1, 1) ∉ R
symmetrisch
gilt nicht: (1, 3) ∈ R, (3, 1) ∉ R
antisymmetrisch
gilt nicht: (3, 4), (4, 3) ∈ R
transitiv
gilt
Antwort
transitiv
4.Mengen, Relationen & Funktionen
Antwort: |R| = 27
Relationen: Eine Relation R auf einer Menge X ist eine Menge geordneter Paare (x, y). R ist reflexiv, wenn (x, x) ∈ R für jedes x in X; symmetrisch, wenn zu (x, y) ∈ R immer (y, x) ∈ R gehört; antisymmetrisch, wenn (x, y) und (y, x) nur dann beide in R liegen, wenn x = y; und transitiv, wenn (x, y) und (y, z) in R (x, z) ∈ R erzwingen. Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv und zerlegt X in disjunkte Klassen.
Paare je Klasse
|R| = 3² + 1² + 4² + 1² = 27
Antwort
|R| = 27
5.Graphentheorie
Antwort: L = 20
Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.
Handschlaglemma für einen Baum
L + 32 = 2(L + 7) − 2
L = 20
Antwort
L = 20
Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.
6.Graphentheorie
Antwort: N = 3
Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.
Adjazenzmatrix
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0
Gemeinsame Nachbarn
(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3
Antwort
N = 3
7.Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Antwort: 33−1 mod 61 = 37
Inverse und Kongruenzen: a hat genau dann ein Inverses modulo n, wenn ggT(a, n) = 1. Der erweiterte euklidische Algorithmus schreibt 1 = s·n + t·a, und dann ist a⁻¹ ≡ t (mod n). Eine Kongruenz a·x ≡ b (mod n) mit ggT(a, n) = 1 hat die Lösung x ≡ a⁻¹·b. Zwei Kongruenzen x ≡ r₁ (mod m₁) und x ≡ r₂ (mod m₂) mit teilerfremden Moduln haben eine Lösung modulo m₁·m₂ (chinesischer Restsatz). Eulers φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die zu n teilerfremd sind: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Erweiterter euklidischer Algorithmus
Jeder Rest r wird als r ≡ t·33 (mod 61) geschrieben.
r = 61, t = 0
r = 33, q = 1, t = 1
r = 28, q = 1, t = −1
r = 5, q = 5, t = 2
r = 3, q = 1, t = −11
r = 2, q = 1, t = 13
r = 1, q = 2, t = −24
Inverse
1 ≡ −24·33 (mod 61)
x = 37
Probe: 33·37 = 1221 = 20·61 + 1
Antwort
33−1 mod 61 = 37
8.Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Antwort: 27165 mod 41 = 14
Modulare Potenzen und RSA: Berechne aᵏ mod n durch wiederholtes Quadrieren: Schreibe k binär, quadriere, reduziere nach jedem Schritt und multipliziere die Potenzen, deren Bit 1 ist. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) für eine Primzahl p, die a nicht teilt, der Exponent lässt sich also modulo p − 1 reduzieren. RSA: Wähle Primzahlen p und q, n = p·q und φ(n) = (p − 1)(q − 1); der öffentliche Exponent e ist teilerfremd zu φ(n), und der private Exponent ist d = e⁻¹ mod φ(n). Verschlüssele mit c = mᵉ mod n und entschlüssele mit m = cᵈ mod n.