Zeichne ein Venn-Diagramm und entscheide Bereich für Bereich, was zum Mengenausdruck gehört.
Fülle bei Zählaufgaben die Bereiche von der Mitte nach außen: erst alle Mengen, dann Paare, dann einzelne Mengen, dann das Äußere.
Nutze das Inklusions-Exklusions-Prinzip als Kontrolle: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Prüfe bei einer Relation jede Eigenschaft an jedem Paar und gib ein Gegenbeispiel an, wenn sie nicht gilt.
Zähle bei einer Funktion die Pfeile, die bei jedem Element von B ankommen: höchstens einer heißt injektiv, mindestens einer surjektiv.
Graphentheorie
Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij
Methode
Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).
Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Division mit Rest
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Lineare Kongruenz
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Eulersche φ-Funktion
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Methode
Reduziere zuerst jede Zahl modulo n; die Reste liegen zwischen 0 und n − 1.
Teile für einen ggT wiederholt mit dem euklidischen Algorithmus; der letzte Rest ungleich null ist der ggT.
Führe für ein Inverses den erweiterten Algorithmus aus und behalte den Koeffizienten von a; addiere n, falls er negativ ist.
Löse a·x ≡ b, indem du mit a⁻¹ multiplizierst; kombiniere zwei Kongruenzen, indem du x = r₁ + m₁k schreibst.
Schreibe bei Potenzen den Exponenten binär und quadriere wiederholt; bei RSA gilt d = e⁻¹ mod φ(n) mit φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Übungsaufgaben
1.Aussagenlogik & BeweiseMittel
Welche Formel ist logisch äquivalent zu q → p? Klicke sie an.
q → p
1¬q ∨ p
2q ∨ ¬p
3p → q
4¬q ∧ p
2.Aussagenlogik & BeweiseSchwer
Das Argument mit den Prämissen q → p; ¬q und der Konklusion ¬p ist ungültig. Klicke die Zeile der Wahrheitstafel an, die ein Gegenbeispiel ist.
q → p¬q∴ ¬p
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
3.Mengen, Relationen & FunktionenMittel
Von 65 Studierenden im ersten Jahr haben 35 Mathematik (M), 41 Physik (P) und 28 Chemie (C) bestanden. 18 haben M und P bestanden, 10 M und C, 17 P und C, und 4 haben alle drei bestanden. Wie viele liegen in keiner der drei Mengen?
|U| = 65
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Mengen, Relationen & FunktionenSchwer
Eine Äquivalenzrelation R auf {1, …, 7} hat die Klassen {2, 6}, {1, 3}, {5, 7}, {4}. Wie viele geordnete Paare enthält R? Nenne die Zahl |R|.
{2, 6}{1, 3}{5, 7}{4}
|R| =
5.GraphentheorieMittel
Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?
2 × deg 32 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.
Start: AZiel: F
d(F) =
7.Zahlentheorie & modulare ArithmetikMittel
Bestimme das Inverse von 47 modulo 67: die Zahl x mit 0 < x < 67 und 47·x ≡ 1 (mod 67).
a = 47n = 67
47−1 mod 67 =
8.Zahlentheorie & modulare ArithmetikSchwer
Ein RSA-Schlüssel verwendet p = 13, q = 47 und e = 19. Entschlüssele den Geheimtext c = 606: Bestimme die Nachricht m.
p = 13q = 47e = 19c = 606
m =
3Lösungen
1.Aussagenlogik & Beweise
Antwort: ¬q ∨ p
Logische Äquivalenz: Zwei Formeln sind äquivalent (≡), wenn sie in jeder Zeile der Wahrheitstafel denselben Wert haben. Eine Tautologie ist in jeder Zeile 1, eine Kontradiktion in jeder Zeile 0, und eine Kontingenz ist keines von beiden. Nützliche Gesetze: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b und ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (Kontraposition); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; und die Distributivgesetze, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Das Gesetz
a → b ist nur 0, wenn a = 1 und b = 0, also dasselbe wie ¬a ∨ b.
q → p ≡ ¬q ∨ p
Mit der Wahrheitstafel prüfen
p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 0
p = 1, q = 0: 1 | 1 0 0 1
p = 0, q = 1: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0
Antwort
¬q ∨ p
Die Spalten nach dem Strich sind die Optionen in der angezeigten Reihenfolge.
2.Aussagenlogik & Beweise
Antwort: p = 1, q = 0
Quantoren und Argumente: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) und ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Ziehe eine Negation nach innen, vertausche jeden Quantor, den sie passiert, und negiere die innere Formel mit den aussagenlogischen Gesetzen, etwa ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion in jeder Zeile 1 ist, in der alle Prämissen 1 sind. Eine einzige Zeile mit wahren Prämissen und falscher Konklusion ist ein Gegenbeispiel und zeigt, dass das Argument ungültig ist.
Prämissen und Konklusion Zeile für Zeile
p = 1, q = 1: 1 0 | 0
p = 1, q = 0: 1 1 | 0
p = 0, q = 1: 0 0 | 1
p = 0, q = 0: 1 1 | 1
Gegenbeispiel
p = 1, q = 0
Antwort
p = 1, q = 0
Ein Argument dieser Form sieht aus wie eine gültige Regel, aber eine Zeile genügt, um zu zeigen, dass sie es nicht ist.
3.Mengen, Relationen & Funktionen
Antwort: |(M ∪ P ∪ C)′| = 2
Mengen und Venn-Diagramme: A ∪ B enthält die Elemente in A oder B (oder beiden), A ∩ B die Elemente in beiden, A − B die Elemente von A, die nicht in B liegen, und das Komplement A′ alles in U, was nicht in A liegt. In einem Venn-Diagramm ist jeder Mengenausdruck eine Vereinigung von Bereichen, zähle ihn also Bereich für Bereich. Inklusion–Exklusion: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| und |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Mitte und Paare
M ∩ P ∩ C: 4
M ∩ P nur: 18 − 4 = 14
M ∩ C nur: 10 − 4 = 6
P ∩ C nur: 17 − 4 = 13
Einzelne Mengen
M nur: 35 − 14 − 6 − 4 = 11
P nur: 41 − 14 − 13 − 4 = 10
C nur: 28 − 6 − 13 − 4 = 5
Antwort
|M ∪ P ∪ C| = 63
|(M ∪ P ∪ C)′| = 65 − 63 = 2
Antwort
|(M ∪ P ∪ C)′| = 2
4.Mengen, Relationen & Funktionen
Antwort: |R| = 13
Relationen: Eine Relation R auf einer Menge X ist eine Menge geordneter Paare (x, y). R ist reflexiv, wenn (x, x) ∈ R für jedes x in X; symmetrisch, wenn zu (x, y) ∈ R immer (y, x) ∈ R gehört; antisymmetrisch, wenn (x, y) und (y, x) nur dann beide in R liegen, wenn x = y; und transitiv, wenn (x, y) und (y, z) in R (x, z) ∈ R erzwingen. Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv und zerlegt X in disjunkte Klassen.
Paare je Klasse
|R| = 2² + 2² + 2² + 1² = 13
Antwort
|R| = 13
5.Graphentheorie
Antwort: L = 4
Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.
Handschlaglemma für einen Baum
L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4
Antwort
L = 4
Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.
6.Graphentheorie
Antwort: d(F) = 15
Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.
Dijkstra Runde für Runde
Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.
A (0): C: 1
C (1): B: 13, E: 8, G: 16
E (8): F: 15, G: 14
B (13): D: 22
G (14): D: 17
F (15)
D (17)
Kürzester Weg
A → C → E → F
d(F) = 15
Antwort
d(F) = 15
7.Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Antwort: 47−1 mod 67 = 10
Inverse und Kongruenzen: a hat genau dann ein Inverses modulo n, wenn ggT(a, n) = 1. Der erweiterte euklidische Algorithmus schreibt 1 = s·n + t·a, und dann ist a⁻¹ ≡ t (mod n). Eine Kongruenz a·x ≡ b (mod n) mit ggT(a, n) = 1 hat die Lösung x ≡ a⁻¹·b. Zwei Kongruenzen x ≡ r₁ (mod m₁) und x ≡ r₂ (mod m₂) mit teilerfremden Moduln haben eine Lösung modulo m₁·m₂ (chinesischer Restsatz). Eulers φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die zu n teilerfremd sind: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Erweiterter euklidischer Algorithmus
Jeder Rest r wird als r ≡ t·47 (mod 67) geschrieben.
r = 67, t = 0
r = 47, q = 1, t = 1
r = 20, q = 2, t = −1
r = 7, q = 2, t = 3
r = 6, q = 1, t = −7
r = 1, q = 6, t = 10
Inverse
1 ≡ 10·47 (mod 67)
x = 10
Probe: 47·10 = 470 = 7·67 + 1
Antwort
47−1 mod 67 = 10
8.Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Antwort: m = 291
Modulare Potenzen und RSA: Berechne aᵏ mod n durch wiederholtes Quadrieren: Schreibe k binär, quadriere, reduziere nach jedem Schritt und multipliziere die Potenzen, deren Bit 1 ist. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) für eine Primzahl p, die a nicht teilt, der Exponent lässt sich also modulo p − 1 reduzieren. RSA: Wähle Primzahlen p und q, n = p·q und φ(n) = (p − 1)(q − 1); der öffentliche Exponent e ist teilerfremd zu φ(n), und der private Exponent ist d = e⁻¹ mod φ(n). Verschlüssele mit c = mᵉ mod n und entschlüssele mit m = cᵈ mod n.