Zeichne ein Venn-Diagramm und entscheide Bereich für Bereich, was zum Mengenausdruck gehört.
Fülle bei Zählaufgaben die Bereiche von der Mitte nach außen: erst alle Mengen, dann Paare, dann einzelne Mengen, dann das Äußere.
Nutze das Inklusions-Exklusions-Prinzip als Kontrolle: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Prüfe bei einer Relation jede Eigenschaft an jedem Paar und gib ein Gegenbeispiel an, wenn sie nicht gilt.
Zähle bei einer Funktion die Pfeile, die bei jedem Element von B ankommen: höchstens einer heißt injektiv, mindestens einer surjektiv.
Graphentheorie
Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij
Methode
Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).
Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Division mit Rest
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Lineare Kongruenz
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Eulersche φ-Funktion
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Methode
Reduziere zuerst jede Zahl modulo n; die Reste liegen zwischen 0 und n − 1.
Teile für einen ggT wiederholt mit dem euklidischen Algorithmus; der letzte Rest ungleich null ist der ggT.
Führe für ein Inverses den erweiterten Algorithmus aus und behalte den Koeffizienten von a; addiere n, falls er negativ ist.
Löse a·x ≡ b, indem du mit a⁻¹ multiplizierst; kombiniere zwei Kongruenzen, indem du x = r₁ + m₁k schreibst.
Schreibe bei Potenzen den Exponenten binär und quadriere wiederholt; bei RSA gilt d = e⁻¹ mod φ(n) mit φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Übungsaufgaben
1.Aussagenlogik & BeweiseMittel
Du willst (q ∨ r) → p durch Widerspruch beweisen. Welche Aussage nimmst du am Anfang an? Klicke sie an.
(q ∨ r) → p
1¬(q ∨ r) → ¬p
2¬(q ∨ r) ∧ ¬p
3¬(q ∨ r) ∧ p
4(q ∨ r) ∧ ¬p
2.Aussagenlogik & BeweiseSchwer
Welche Aussage ist äquivalent zu ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), wenn die Negation ganz nach innen gezogen ist? Klicke sie an.
¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
1∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.Mengen, Relationen & FunktionenMittel
Genau ein Bereich des Venn-Diagramms ist die Menge (C ∩ A) ∩ (A ∩ B′). Klicke seine Nummer an.
(C ∩ A) ∩ (A ∩ B′)
1Bereich 1
2Bereich 2
3Bereich 3
4Bereich 4
5Bereich 5
6Bereich 6
7Bereich 7
8Bereich 8
4.Mengen, Relationen & FunktionenSchwer
Das Pfeildiagramm zeigt eine Funktion f: A → B mit A = {1, 2, 3, 4} und B = {a, b, c, d}. Klicke die Beschreibung an, die zu f passt.
f = {(1, a), (2, b), (3, d), (4, c)}
1injektiv, nicht surjektiv
2surjektiv, nicht injektiv
3bijektiv
4keines von beiden
5.GraphentheorieMittel
Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?
3 × deg 32 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.
Start: AZiel: F
d(F) =
7.Zahlentheorie & modulare ArithmetikMittel
Bestimme die Eulersche φ-Funktion φ(1183), die Anzahl der ganzen Zahlen von 1 bis 1183, die zu 1183 teilerfremd sind.
n = 1183 = 7·132
φ(1183) =
8.Zahlentheorie & modulare ArithmetikSchwer
Löse 26x ≡ 56 (mod 62). Gib die kleinste positive Lösung x an.
26x ≡ 56 (mod 62)
x =
3Lösungen
1.Aussagenlogik & Beweise
Antwort: (q ∨ r) ∧ ¬p
Logische Äquivalenz: Zwei Formeln sind äquivalent (≡), wenn sie in jeder Zeile der Wahrheitstafel denselben Wert haben. Eine Tautologie ist in jeder Zeile 1, eine Kontradiktion in jeder Zeile 0, und eine Kontingenz ist keines von beiden. Nützliche Gesetze: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b und ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (Kontraposition); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; und die Distributivgesetze, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Teile der Implikation
a = q ∨ r, b = p
Negation der Implikation
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (q ∨ r) ∧ ¬p
Antwort
(q ∨ r) ∧ ¬p
Führt die Annahme zu einem Widerspruch, muss die Implikation wahr sein.
2.Aussagenlogik & Beweise
Antwort: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
Quantoren und Argumente: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) und ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Ziehe eine Negation nach innen, vertausche jeden Quantor, den sie passiert, und negiere die innere Formel mit den aussagenlogischen Gesetzen, etwa ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion in jeder Zeile 1 ist, in der alle Prämissen 1 sind. Eine einzige Zeile mit wahren Prämissen und falscher Konklusion ist ein Gegenbeispiel und zeigt, dass das Argument ungültig ist.
Die anderen Optionen lassen entweder einen Quantor unverändert, ändern die Reihenfolge der Quantoren oder negieren die innere Formel falsch.
3.Mengen, Relationen & Funktionen
Antwort: Bereich 2
Mengen und Venn-Diagramme: A ∪ B enthält die Elemente in A oder B (oder beiden), A ∩ B die Elemente in beiden, A − B die Elemente von A, die nicht in B liegen, und das Komplement A′ alles in U, was nicht in A liegt. In einem Venn-Diagramm ist jeder Mengenausdruck eine Vereinigung von Bereichen, zähle ihn also Bereich für Bereich. Inklusion–Exklusion: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| und |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Innerhalb oder außerhalb jeder Menge
A ∩ B′ ∩ C
Der Bereich
Bereich 2
Antwort
Bereich 2
4.Mengen, Relationen & Funktionen
Antwort: bijektiv
Funktionen und Abzählen: Eine Funktion f: A → B ordnet jedem Element von A genau ein Bild in B zu. f ist injektiv (eineindeutig), wenn verschiedene Elemente verschiedene Bilder haben, surjektiv (auf), wenn jedes Element von B ein Bild ist, und bijektiv, wenn beides gilt. Mit |A| = m und |B| = n gibt es nᵐ Funktionen, n!/(n − m)! injektive (m ≤ n) und nach Inklusion–Exklusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ surjektive. |𝒫(A)| = 2ᵐ und |A × B| = m·n.
Injektiv?
Jedes Element von B wird höchstens einmal getroffen → injektiv
Surjektiv?
Jedes Element von B wird getroffen → surjektiv
Antwort
bijektiv
Antwort
bijektiv
5.Graphentheorie
Antwort: L = 5
Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.
Handschlaglemma für einen Baum
L + 13 = 2(L + 5) − 2
L = 5
Antwort
L = 5
Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.
6.Graphentheorie
Antwort: d(F) = 33
Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.
Dijkstra Runde für Runde
Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.
A (0): B: 3, C: 12
B (3): D: 13, G: 16
C (12): E: 24
D (13)
G (16): E: 22
E (22): F: 33
F (33)
Kürzester Weg
A → B → G → E → F
d(F) = 33
Antwort
d(F) = 33
7.Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Antwort: φ(1183) = 936
Inverse und Kongruenzen: a hat genau dann ein Inverses modulo n, wenn ggT(a, n) = 1. Der erweiterte euklidische Algorithmus schreibt 1 = s·n + t·a, und dann ist a⁻¹ ≡ t (mod n). Eine Kongruenz a·x ≡ b (mod n) mit ggT(a, n) = 1 hat die Lösung x ≡ a⁻¹·b. Zwei Kongruenzen x ≡ r₁ (mod m₁) und x ≡ r₂ (mod m₂) mit teilerfremden Moduln haben eine Lösung modulo m₁·m₂ (chinesischer Restsatz). Eulers φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die zu n teilerfremd sind: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Primfaktoren
1183 = 7·132
φ-Wert
φ(1183) = φ(169)·φ(7) = 156·6 = 936
Antwort
φ(1183) = 936
8.Zahlentheorie & modulare Arithmetik
Antwort: x = 26
Inverse und Kongruenzen: a hat genau dann ein Inverses modulo n, wenn ggT(a, n) = 1. Der erweiterte euklidische Algorithmus schreibt 1 = s·n + t·a, und dann ist a⁻¹ ≡ t (mod n). Eine Kongruenz a·x ≡ b (mod n) mit ggT(a, n) = 1 hat die Lösung x ≡ a⁻¹·b. Zwei Kongruenzen x ≡ r₁ (mod m₁) und x ≡ r₂ (mod m₂) mit teilerfremden Moduln haben eine Lösung modulo m₁·m₂ (chinesischer Restsatz). Eulers φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die zu n teilerfremd sind: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).