Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Gerinneströmung (Manning)

Manning-Gleichung: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Volumenstrom: Q = A·V
Hydraulischer Radius: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt: R = D/4
Erforderliches Gefälle: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 40 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 280 kPa und die Geschwindigkeit 3 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 50 mm Durchmesser und einen Überdruck von 90 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 30 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 90 kPa (Überdruck)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit 50 L/s durch ein 50 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 150 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

Q = 50 L/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 150 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

In einem Versuch fördert eine Pumpe 15 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 64 m, während ihre Welle 12,1 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 15 L/sH = 64 mP_shaft = 12,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 120 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 21 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 75 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 120 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

9.Gerinneströmung (Manning)Mittel

Ein Rechteckgerinne (glatter Beton) ist 2,5 m breit. Wasser fließt gleichförmig 1,1 m tief. Manning n = 0,012, und das Sohlgefälle ist S = 0,005. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

b = 2,5 my = 1,1 mn = 0,012S = 0,005

Q = m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)Schwer

Ein 5,5 m breites Rechteckgerinne (Mauerwerk) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 1,4 m 27 m³/s abführen. Manning n = 0,015. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).

Q = 27 m³/sb = 5,5 my = 1,4 mn = 0,015

S = m/m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 58,86 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Antwort

F = 58,86 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 2,481 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·2,5 = 48,56 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 1,302/(2,25·2,5) = 2,481 m

Antwort

y_cp = 2,481 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 228,9 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 280 + (−51,12) = 228,9 kPa

Antwort

p₂ = 228,9 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: H = 10,54 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Austrittsgeschwindigkeit

β = 30/50 = 0,6

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,8704)) = 14,38 m/s

Höhe des Strahls

Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.

H = v₂²/(2g) = 14,38²/(2·9,81) = 10,54 m

Antwort

H = 10,54 m

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 2,72 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Mittlere Geschwindigkeit

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,15)·2,829²/(2·9,81) = 2,72 m

Antwort

h_f = 2,72 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 16,86 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 24·0,5876 = 14,1 m

h_m = 4,7·0,5876 = 2,762 m

Δz = h_f + h_m = 16,86 m

Antwort

Δz = 16,86 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 77,83 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·64 = 9,418 kW

Wirkungsgrad

η = P_h/P_shaft = 9,418/12,1 = 77,83%

Antwort

η = 77,83%

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 42,14 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 6)·0,3046 = 5,848 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 21 + 5,848 = 26,85 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·26,85/0,75 = 42,14 kW

Antwort

P_shaft = 42,14 kW

9.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: Q = 11,34 m³/s

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = b·y = 2,5·1,1 = 2,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,1 = 4,7 m

R = A/P = 0,5851 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,012)·0,5851^2/3·0,005^1/2 = 4,122 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 2,75·4,122 = 11,34 m³/s

Antwort

Q = 11,34 m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: S = 0,003058 m/m

Geometrie

A = b·y = 5,5·1,4 = 7,7 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,4 = 8,3 m

R = A/P = 0,9277 m

Manning nach S auflösen

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·27/(7,7·0,9512) = 0,0553

S = 0,0553² = 0,003058

Antwort

S = 0,003058

Das ist ein Gefälle von 3,058 m pro Kilometer.

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