Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Gerinneströmung (Manning)
- Manning-Gleichung
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Volumenstrom
- Q = A·V
- Hydraulischer Radius
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechteck
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (Böschungsneigung z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
- R = D/4
- Erforderliches Gefälle
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 250 mm Eintrittsdurchmesser und 125 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 35 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 35 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 75 mm auf 25 mm verengt und dabei um 6 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 100 kPa und die Geschwindigkeit 0,75 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 100 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,5 m/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
V = 2,5 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 120 L/s?
Q = 120 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe fördert 150 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 16 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 75 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 88 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung Pel, die der Motor aufnimmt, in kW.
Q = 150 L/sH = 16 mηpump = 75%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 17 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 100 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 20 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
Ein Trapezgerinne (sauberes Erdreich) hat eine Sohlbreite von 4 m und eine Böschungsneigung von 3:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 0,8 m tief. Manning n = 0,022, und das Sohlgefälle ist S = 0,002. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
b = 4 my = 0,8 mz = 3n = 0,022S = 0,002
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
Ein Betonkanal mit einem Innendurchmesser von 450 mm (Manning n = 0,013) muss bei gerade voller Füllung eine Selbstreinigungsgeschwindigkeit von 1 m/s erreichen. Bestimme das Mindestgefälle S (in m/m).
D = 450 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 103 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN
Antwort
F = 103 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 117,7 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN
Antwort
F = 117,7 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 106 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Kontinuität
v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2
Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·35000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,641 m/s
v1 = 2,16 m/s
Volumenstrom
Q = A2·v2 = 0,01227·8,641 = 0,106 m³/s = 106 L/s
Antwort
Q = 106 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p2 = 18,64 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 100 + (−22,5) − 58,86 = 18,64 kPa
Antwort
p2 = 18,64 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 28,54 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,25)·2,5²/(2·9,81) = 28,54 m
Antwort
hf = 28,54 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δz = 1,626 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Gesamte Verlusthöhe
hf = 6,667·0,1469 = 0,9793 m
hm = 4,4·0,1469 = 0,6463 m
Δz = hf + hm = 1,626 m
Antwort
Δz = 1,626 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pel = 35,67 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·16 = 23,54 kW
Wellenleistung
Pshaft = 23,54/0,75 = 31,39 kW
Elektrische Leistung
Pel = 31,39/0,88 = 35,67 kW
Antwort
Pel = 35,67 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 34,8 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,3305 = 7,602 m
Druckhöhe
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 17 + 10,19 + 7,602 = 34,8 m
Antwort
H = 34,8 m
9.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: Q = 7,114 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (4 + 3·0,8)·0,8 = 5,12 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,8·√(1 + 3²) = 9,06 m
R = A/P = 0,5651 m
Geschwindigkeit
V = (1/0,022)·0,56512/3·0,0021/2 = 1,39 m/s
Volumenstrom
Q = A·V = 5,12·1,39 = 7,114 m³/s
Antwort
Q = 7,114 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: S = 0,003112 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Hydraulischer Radius
R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m
Manning nach S auflösen
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,233)² = 0,003112
Antwort
S = 0,003112
Das ist ein Gefälle von 3,112 m pro Kilometer.
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