Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Gerinneströmung (Manning)

Manning-Gleichung: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Volumenstrom: Q = A·V
Hydraulischer Radius: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt: R = D/4
Erforderliches Gefälle: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 40 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 160 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 160 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 100 mm Durchmesser und einen Überdruck von 60 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 25 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 60 kPa (Überdruck)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1 m/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 1 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 10). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 8 L/s beträgt?

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe fördert 40 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 18 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 70 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 88 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung P_el, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 40 L/sH = 18 mη_pump = 70%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 25 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 250 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 20 L/sΔz = 25 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 250 kPa

H = m

9.Gerinneströmung (Manning)Mittel

Ein Regenwasserkanal aus Beton mit einem Innendurchmesser von 450 mm läuft gerade voll (als Freispiegelleitung, nicht unter Druck). Manning n = 0,013, und das Gefälle ist S = 0,004. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)Schwer

Ein Trapezgerinne (Erdreich mit Grasbewuchs) mit einer Sohlbreite von 4 m und einer Böschungsneigung von 1,5:1 (horizontal:vertikal) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 1,6 m 10 m³/s abführen. Manning n = 0,03. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).

Q = 10 m³/sb = 4 my = 1,6 mz = 1,5n = 0,03

S = m/m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 143,5 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN

Antwort

F = 143,5 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 2,533 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,1667/(2,5·2) = 2,533 m

Antwort

y_cp = 2,533 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 135,4 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(150/40)² = 7,031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 7,031²)/1000 = −24,59 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−24,59) = 135,4 kPa

Antwort

p₂ = 135,4 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: H = 6,14 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Austrittsgeschwindigkeit

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0,9961)) = 10,98 m/s

Höhe des Strahls

Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.

H = v₂²/(2g) = 10,98²/(2·9,81) = 6,14 m

Antwort

H = 6,14 m

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 3,806 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,3)·1²/(2·9,81) = 3,806 m

Antwort

h_f = 3,806 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 1,962 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 25 + 11,1)·0,05288 = 1,962 m

Antwort

H = 1,962 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_el = 11,47 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·18 = 7,063 kW

Wellenleistung

P_shaft = 7,063/0,7 = 10,09 kW

Elektrische Leistung

P_el = 10,09/0,88 = 11,47 kW

Antwort

P_el = 11,47 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 59,9 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 6)·0,3305 = 9,419 m

Druckhöhe

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 25 + 25,48 + 9,419 = 59,9 m

Antwort

H = 59,9 m

9.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: Q = 0,1803 m³/s

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,004^1/2 = 1,134 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 0,159·1,134 = 0,1803 m³/s

Antwort

Q = 0,1803 m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: S = 0,0008061 m/m

Geometrie

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1,6)·1,6 = 10,24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,6·√(1 + 1,5²) = 9,769 m

R = A/P = 1,048 m

Manning nach S auflösen

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·10/(10,24·1,032) = 0,02839

S = 0,02839² = 0,0008061

Antwort

S = 0,0008061

Das ist ein Gefälle von 0,8061 m pro Kilometer.

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