Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Gerinneströmung (Manning)
- Manning-Gleichung
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Volumenstrom
- Q = A·V
- Hydraulischer Radius
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechteck
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (Böschungsneigung z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
- R = D/4
- Erforderliches Gefälle
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Ein Prandtl-Rohr in einem Windkanal zeigt eine Differenz von 300 Pa zwischen Gesamtdruck und statischem Druck an. Die Luftdichte beträgt 1,2 kg/m³. Bestimme die Luftgeschwindigkeit v.
p0 − p = 300 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 150 mm, Engstelle 75 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 90 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,98. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 90 mmCd = 0,98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,1 m/s durch ein 300 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 200 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
V = 2,1 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 7 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.
Δz = 7 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
In einem Versuch fördert eine Pumpe 100 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 40 m, während ihre Welle 56,1 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Q = 100 L/sH = 40 mPshaft = 56,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 6 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 500 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 80 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
Ein Trapezgerinne (sauberes Erdreich) hat eine Sohlbreite von 3 m und eine Böschungsneigung von 3:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 1,6 m tief. Manning n = 0,022, und das Sohlgefälle ist S = 0,003. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
b = 3 my = 1,6 mz = 3n = 0,022S = 0,003
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
Ein 4 m breites Rechteckgerinne (Kies) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 1,2 m 4,5 m³/s abführen. Manning n = 0,025. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).
Q = 4,5 m³/sb = 4 my = 1,2 mn = 0,025
S = m/m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 39,24 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN
Antwort
F = 39,24 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 73,53 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,25·2,25 = 73,53 kN
Antwort
F = 73,53 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: v = 22,36 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli bis zum Staupunkt
Die Strömung kommt an der Spitze zur Ruhe, ihre kinetische Energie erscheint also als zusätzlicher Druck.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·300/1,2) = 22,36 m/s
Antwort
v = 22,36 m/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 21,09 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Druckdifferenz aus dem Manometer
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,09 = 11125 Pa
Geschwindigkeit in der Engstelle
Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.
β = 75/150 = 0,5
v2 = √(2·11125/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,872 m/s
Tatsächlicher Volumenstrom
Q = Cd·A2·v2 = 0,98·0,004418·4,872 = 0,02109 m³/s = 21,09 L/s
Antwort
Q = 21,09 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 10,11 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,2)·2,1²/(2·9,81) = 10,11 m
Antwort
hf = 10,11 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Q = 115,7 L/s
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Energiegleichung
Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.
7 = (12 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/24,7) = 2,358 m/s
Volumenstrom
Q = V·π·D²/4 = 2,358·0,04909 = 0,1157 m³/s = 115,7 L/s
Antwort
Q = 115,7 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: η = 69,95 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·40 = 39,24 kW
Wirkungsgrad
η = Ph/Pshaft = 39,24/56,1 = 69,95%
Antwort
η = 69,95%
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 21,86 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 6)·0,408 = 29,65 m
Förderhöhe
H = Δz + hL = 6 + 29,65 = 35,65 m
Wellenleistung
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·35,65/0,8 = 21,86 kW
Antwort
Pshaft = 21,86 kW
9.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: Q = 30,05 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1,6)·1,6 = 12,48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 13,12 m
R = A/P = 0,9513 m
Geschwindigkeit
V = (1/0,022)·0,95132/3·0,0031/2 = 2,408 m/s
Volumenstrom
Q = A·V = 12,48·2,408 = 30,05 m³/s
Antwort
Q = 30,05 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: S = 0,0008061 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = b·y = 4·1,2 = 4,8 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1,2 = 6,4 m
R = A/P = 0,75 m
Manning nach S auflösen
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·4,5/(4,8·0,8255) = 0,02839
S = 0,02839² = 0,0008061
Antwort
S = 0,0008061
Das ist ein Gefälle von 0,8061 m pro Kilometer.
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