Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Gerinneströmung (Manning)

Manning-Gleichung: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Volumenstrom: Q = A·V
Hydraulischer Radius: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt: R = D/4
Erforderliches Gefälle: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Ein Prandtl-Rohr in einer Wasserleitung zeigt eine Differenz von 19 kPa zwischen Gesamtdruck und statischem Druck an. Bestimme die Wassergeschwindigkeit v an der Sondenspitze.

p₀ − p = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 200 mm auf 100 mm verengt und dabei um 2 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 370 kPa und die Geschwindigkeit 1,25 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ in Querschnitt 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 370 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,7 m/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 2,7 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 80 L/s beträgt?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 75 % fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 18 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 20 L/sH = 18 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 12 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 5 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 85 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 12 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

9.Gerinneströmung (Manning)Mittel

Ein Trapezgerinne (Mauerwerk) hat eine Sohlbreite von 1,5 m und eine Böschungsneigung von 1,5:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 1,9 m tief. Manning n = 0,015, und das Sohlgefälle ist S = 0,004. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

b = 1,5 my = 1,9 mz = 1,5n = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)Schwer

Ein 1 m breites Rechteckgerinne (Erdreich mit Grasbewuchs) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 2,2 m 2,5 m³/s abführen. Manning n = 0,03. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).

Q = 2,5 m³/sb = 1 my = 2,2 mn = 0,03

S = m/m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 29,43 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1 = 29,43 kN

Antwort

F = 29,43 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 2,333 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·3 = 58,27 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,5625/(2,25·3) = 2,333 m

Antwort

y_cp = 2,333 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: v = 6,164 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli bis zum Staupunkt

Die Strömung kommt an der Spitze zur Ruhe, ihre kinetische Energie erscheint also als zusätzlicher Druck.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·19000/1000) = 6,164 m/s

Antwort

v = 6,164 m/s

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 338,7 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(200/100)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−11,72) − 19,62 = 338,7 kPa

Antwort

p₂ = 338,7 kPa

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 53,5 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,1)·2,7²/(2·9,81) = 53,5 m

Antwort

h_f = 53,5 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 3,303 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 20 + 3,4)·0,1354 = 3,303 m

Antwort

H = 3,303 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 4,709 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·18 = 3,532 kW

Wellenleistung

P_shaft = P_h/η = 3,532/0,75 = 4,709 kW

Antwort

P_shaft = 4,709 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 1,714 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,119 = 7,377 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 5 + 7,377 = 12,38 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,012·12,38/0,85 = 1,714 kW

Antwort

P_shaft = 1,714 kW

9.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: Q = 34,61 m³/s

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·1,9)·1,9 = 8,265 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,9·√(1 + 1,5²) = 8,351 m

R = A/P = 0,9898 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,015)·0,9898^2/3·0,004^1/2 = 4,188 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 8,265·4,188 = 34,61 m³/s

Antwort

Q = 34,61 m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: S = 0,003848 m/m

Geometrie

A = b·y = 1·2,2 = 2,2 m²

P = b + 2y = 1 + 2·2,2 = 5,4 m

R = A/P = 0,4074 m

Manning nach S auflösen

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,5/(2,2·0,5496) = 0,06203

S = 0,06203² = 0,003848

Antwort

S = 0,003848

Das ist ein Gefälle von 3,848 m pro Kilometer.

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