Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Gerinneströmung (Manning)

Manning-Gleichung: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Volumenstrom: Q = A·V
Hydraulischer Radius: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt: R = D/4
Erforderliches Gefälle: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 100 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 300 kPa und die Geschwindigkeit 2 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 80 mm, Engstelle 40 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 60 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,96. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 60 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,3 m/s durch ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 75 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 2,3 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 300 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

In einem Versuch fördert eine Pumpe 150 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 18 m, während ihre Welle 33,1 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 150 L/sH = 18 mP_shaft = 33,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 120 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 12 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 400 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 120 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 5

H = m

9.Gerinneströmung (Manning)Mittel

Ein Trapezgerinne (glatter Beton) hat eine Sohlbreite von 2,5 m und eine Böschungsneigung von 2:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 0,5 m tief. Manning n = 0,012, und das Sohlgefälle ist S = 0,003. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

b = 2,5 my = 0,5 mz = 2n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)Schwer

Ein 5,5 m breites Rechteckgerinne (sauberes Erdreich) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 1,4 m 7,4 m³/s abführen. Manning n = 0,022. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).

Q = 7,4 m³/sb = 5,5 my = 1,4 mn = 0,022

S = m/m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 165,5 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·7,5 = 165,5 kN

Antwort

F = 165,5 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 349,6 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·9 = 349,6 kN

Antwort

F = 349,6 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 291,9 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/100)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−8,125) = 291,9 kPa

Antwort

p₂ = 291,9 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: Q = 4,799 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Druckdifferenz aus dem Manometer

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,06 = 7416 Pa

Geschwindigkeit in der Engstelle

Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.

β = 40/80 = 0,5

v₂ = √(2·7416/(1000·(1 − 0,0625))) = 3,978 m/s

Tatsächlicher Volumenstrom

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,001257·3,978 = 0,004799 m³/s = 4,799 L/s

Antwort

Q = 4,799 L/s

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 50,33 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,075)·2,3²/(2·9,81) = 50,33 m

Antwort

h_f = 50,33 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 7,974 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·300/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 30·0,2115 = 6,346 m

h_m = 7,7·0,2115 = 1,629 m

Δz = h_f + h_m = 7,974 m

Antwort

Δz = 7,974 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 80,02 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·18 = 26,49 kW

Wirkungsgrad

η = P_h/P_shaft = 26,49/33,1 = 80,02%

Antwort

η = 80,02%

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 23,27 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 5)·0,3046 = 11,27 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + h_L = 12 + 11,27 = 23,27 m

Antwort

H = 23,27 m

9.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: Q = 4,113 m³/s

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·0,5)·0,5 = 1,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,5·√(1 + 2²) = 4,736 m

R = A/P = 0,3695 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,012)·0,3695^2/3·0,003^1/2 = 2,35 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 1,75·2,35 = 4,113 m³/s

Antwort

Q = 4,113 m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: S = 0,0004941 m/m

Geometrie

A = b·y = 5,5·1,4 = 7,7 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,4 = 8,3 m

R = A/P = 0,9277 m

Manning nach S auflösen

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·7,4/(7,7·0,9512) = 0,02223

S = 0,02223² = 0,0004941

Antwort

S = 0,0004941

Das ist ein Gefälle von 0,4941 m pro Kilometer.

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